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प्रश्न
यदि `vec"a" = hat"i" + hat"j" + hat"k"` और `vec"b" = hat"j" - hat"k"` तो सदिश `vec"c"` ज्ञात कीजिए इस प्रकार कि `vec"a" xx vec"c" = vec"b"` और `vec"a"*vec"c"` = 3.
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उत्तर
मान लीजिए कि `vec"c" = "c"_1hat"i" + "c"_2hat"j" + "c"_3hat"k"`
यह भी दिया गया है कि `vec"a" = hat"i" + hat"j" + hat"k"` और `vec"b" = hat"j" - hat"k"`
क्योंकि, `vec"a" xx vec"c" = vec"b"`
∴ `|(hat"i", hat"j", hat"k"),(1, 1, 1),("c"_1, "c"_2, "c"_3)| = hat"j" - hat"k"`
= `hat"i"("c"_3 - "c"_2) - hat"j"("c"_3 - "c"_1) + hat"k"("c"_2 - "c"_1)`
= `hat"j" - hat"k"`
समान पदों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
c3 – c2 = 0 ......(i)
c1 – c3 = 1 ....(ii)
और c2 – c1 = –1 ....(iii)
अब `vec"a"*vec"c"` = 3 के लिए
`(hat"i" + hat"j" + hat"k") * ("c"_1hat"i" + "c"_2hat"j" + "c"_3hat"k")` = 3
∴ c1 + c2 + c3 = 3 ......(iv)
समीकरण (ii) और समीकरण (iii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,
c2 – c3 = 0 ......(iv)
(iv) और (v) से हम प्राप्त करते हैं
c1 + 2c2 = 3 .....(vi)
(iii) और (vi) से हम प्राप्त करते हैं
c1 + 2c2 = 3
– c1 + c2 = – 1
जोड़ना 3c2 = 2
∴ c2 = `2/3`
c3 – c2 = 0
⇒ `"c"_3 - 2/3` = 0
∴ c3 = `2/3`
अब c2 – c1 = –1
⇒ `2/3 - "c"_1` = –1
⇒ c1 = `1 + 2/3 = 5/3`
∴ `vec"c" = 5/3 hat"i" + 2/3hat"j" + 2/3hat"k"`
इसलिए, `vec"c" = 1/3(5hat"i" + 2hat"j" + 2hat"k")`।
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परिमाण 10`sqrt3` वाले उन सभी सदिशों को ज्ञात कीजिए जो `hat"i" + 2hat"j" + hat"k"` और `-hat"i" + 3hat"j" + 4hat"k"` को अंतर्विष्ट करने वाले तल पर लंब हो।
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