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प्रश्न
यदि `vec"a", vec"b", vec"c"` किसी त्रिभुज के शीर्षों को निर्धारित करते हैं तो, सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल `1/2[vec"b" xx vec"c" + vec"c" xx vec"a" + vec"a" xx vec"b"]` है। इसके प्रयोग से तीन बिंदुओं `vec"a", vec"b", vec"c"` के संरेखी होने के प्रतिबंध का निगमन कीजिए। साथ ही त्रिभुज के तल पर अभिलंब मात्रक सदिश भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
क्योंकि, `vec"a", vec"b"` तथा `vec"c"` ΔABC के शीर्ष हैं।
∴ `vec"AB" = vec"b" - vec"a"`
`vec"BC" = vec"c" - vec"b"`
और `vec"AC" = vec"c" - vec"a"`
∴ ΔABC का क्षेत्रफल = `1/2 |vec"AB" xx vec"AC"|`
= `1/2|(vec"b" - vec"a") xx (vec"c" - vec"a")|`
= `1/2 |vec"b" xx vec"c" - vec"b" xx vec"a" - vec"a" xx vec"c" + vec"a" xx vec"a"|`
= `1/2 |vec"b" xx vec"c" + vec"a" xx vec"b" + vec"c" xx vec"a"|` ......`[("क्योंकि" vec"a" xx vec"b" = - vec"b" xx vec"a"),(vec"c" xx vec"a" = - vec"a" xx vec"c"),(vec"a" xx vec"a" = vec0)]`
क्योंकि तीन सदिश संरेख हैं, ABC का क्षेत्रफल = 0
∴ `1/2 |vec"b" xx vec"c" + vec"a" xx vec"b" + vec"c" xx vec"a"|` = 0
`|vec"a" xx vec"b" + vec"b" xx vec"c" + vec"c" xx vec"a"|` = 0
जो `vec"a", vec"b"` तथा `vec"c"` की संरेख की स्थिति है।
माना `hat"n"` ΔABC के तल के लिए सामान्य मात्रक सदिश बनें।
∴ `hat"n" = (vec"AB" xx vec"AC")/|vec"AB" xx vec"AC"|`-
⇒ `(vec"a" xx vec"b" + vec"b" xx vec"c" + vec"c" xx vec"a")/|vec"a" xx vec"b" + vec"b" xx vec"c" + vec"c" xx vec"a"|`
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