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प्रश्न
यदि `(2sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)` = y है, तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha)` भी y के बराबर है।
संकेतः व्यक्त कीजिएः `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha) = (1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha) . (1 + cosalpha + sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)`
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उत्तर
ज्ञात है की, y = `(2sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)`
हर को युक्तिसंगत बनाने पर,
y = `(2sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha) xx ((1 + sinalpha) - cosalpha)/((1 +sinalpha) - cosalpha)`
y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 + sinalpha)^2 - cos^2alpha)`
y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 + sinalpha)^2 - cos^2alpha)`
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 लागू करने पर,
y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 + sinalpha)^2 - cos^2alpha`
= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(1 + sin^2alpha + 2sinalpha - cos^2alpha)`
= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 - cos^2alpha) + sin^2alpha + 2sinalpha)`
= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(sin^2alpha + sin^2alpha + 2sinalpha)`
y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(2sin^2alpha + 2sinalpha)`
= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(2sinalpha(sinalpha + 1))`
= `{{(1 + sinalpha) - cosalpha}}/((sinalpha + 1))`
= `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha)`
यह सिद्ध किया गया है कि, `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha)` = y
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| (d) `tan(pi/4 + theta)` | (iv) sin2x – sin2y |
