Question

यदि `(2sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)` = y है, तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha)` भी y के बराबर है।

संकेतः व्यक्त कीजिएः `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha) = (1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha) . (1 + cosalpha + sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)`

Answer 1

ज्ञात है की, y =  `(2sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)`

हर को युक्तिसंगत बनाने पर,

y = `(2sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha) xx ((1 + sinalpha) - cosalpha)/((1 +sinalpha) - cosalpha)`

y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 + sinalpha)^2 - cos^2alpha)`

y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 + sinalpha)^2 - cos^2alpha)`

(a + b)² = a² + 2ab + b² लागू करने पर,

y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 + sinalpha)^2 - cos^2alpha`

= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(1 +  sin^2alpha + 2sinalpha - cos^2alpha)`

= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/((1 - cos^2alpha) + sin^2alpha + 2sinalpha)`

= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(sin^2alpha + sin^2alpha + 2sinalpha)`

y = `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(2sin^2alpha + 2sinalpha)`

= `(2sinalpha{(1 + sinalpha) - cosalpha})/(2sinalpha(sinalpha + 1))`

= `{{(1 + sinalpha) - cosalpha}}/((sinalpha + 1))` 

= `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha)`

यह सिद्ध किया गया है कि, `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha)` = y