Question

सिद्ध कीजिए कि `(tanA + secA  - 1)/(tanA - secA + 1) = (1 + sinA)/cosA`

Answer 1

L.H.S. = `(tanA + secA - 1)/(tanA - secA + 1)`

हर को युक्तिसंगत बनाने पर,

= `(tanA + (secA - 1))/(tanA - (secA + 1)) xx (tanA + (secA + 1))/(tanA + (secA + 1))`

= `{tanA + (secA - 1)}^2/(tan^2A - (secA + 1)^2)`

(a + b)² = a² + 2ab + b² लागु करने पर,

= `{{tan^2A + sec^2A - 2secA + 1 + 2tanA(secA - 1)}}/(tan^2A - sec^2A + 2secA + 1)`

ज्ञात है कि, sec²θ - tan²θ = 1

इसलिए,

= `{(tan^2A + sec^2A -  2secA + 1 + 2tanAsecA - 2tanA)}/(-1 + 2secA + 1)`

= `{(tan^2A + 1) + sec^2A - 2secA + 2tanA secA - 2tanA}/(1 + 2secA + 1)`

= `{(sec^2A + sec^2A - 2secA + 2tanA secA - 2tanA)}/(2secA - 2)`

= `{(2sec^2A - 2secA + 2tanAsecA - 2tanA)}/(2secA -  2)`

2 को सामान्य मान लेकर आगे सुलझाने पर,

= `(2(secA(secA - 1) + tanA(secA - 1)))/(2(secA - 1))`

(secA - 1) को सामान्य मान लेने पर,

= `((secA - 1)(secA + tanA))/((secA - 1))`

= secA + tanA

= `1/cosA + sinA/cosA`

= `(1 + sinA)/cosA`

अतः, यह R.H.S. के बराबर है।

यह सिद्ध किया गया है कि L.H.S. = R.H.S. अर्थात

`(tanA + secA  - 1)/(tanA - secA + 1) = (1 + sinA)/cosA`