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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `(tanA + secA - 1)/(tanA - secA + 1) = (1 + sinA)/cosA`
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उत्तर
L.H.S. = `(tanA + secA - 1)/(tanA - secA + 1)`
हर को युक्तिसंगत बनाने पर,
= `(tanA + (secA - 1))/(tanA - (secA + 1)) xx (tanA + (secA + 1))/(tanA + (secA + 1))`
= `{tanA + (secA - 1)}^2/(tan^2A - (secA + 1)^2)`
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 लागु करने पर,
= `{{tan^2A + sec^2A - 2secA + 1 + 2tanA(secA - 1)}}/(tan^2A - sec^2A + 2secA + 1)`
ज्ञात है कि, sec2θ - tan2θ = 1
इसलिए,
= `{(tan^2A + sec^2A - 2secA + 1 + 2tanAsecA - 2tanA)}/(-1 + 2secA + 1)`
= `{(tan^2A + 1) + sec^2A - 2secA + 2tanA secA - 2tanA}/(1 + 2secA + 1)`
= `{(sec^2A + sec^2A - 2secA + 2tanA secA - 2tanA)}/(2secA - 2)`
= `{(2sec^2A - 2secA + 2tanAsecA - 2tanA)}/(2secA - 2)`
2 को सामान्य मान लेकर आगे सुलझाने पर,
= `(2(secA(secA - 1) + tanA(secA - 1)))/(2(secA - 1))`
(secA - 1) को सामान्य मान लेने पर,
= `((secA - 1)(secA + tanA))/((secA - 1))`
= secA + tanA
= `1/cosA + sinA/cosA`
= `(1 + sinA)/cosA`
अतः, यह R.H.S. के बराबर है।
यह सिद्ध किया गया है कि L.H.S. = R.H.S. अर्थात
`(tanA + secA - 1)/(tanA - secA + 1) = (1 + sinA)/cosA`
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