Advertisements
Advertisements
प्रश्न
स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए:
| स्तंभ A | स्तंभ B |
| (a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है | (i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या |
| (b) `i^(-1097)` का मान है | (ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या |
| (c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है | (iii) द्वितीय चतुर्थांश |
| (d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है | (iv) चौथा चतुर्थांश |
| (e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं | (v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं |
| (f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं | (vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं |
Advertisements
उत्तर
| स्तंभ A | उत्तर |
| (a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है | (ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या |
| (b) `i^(-1097)` का मान है | (i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या |
| (c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है | (iv) चौथा चतुर्थांश |
| (d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है | (iii) द्वितीय चतुर्थांश |
| (e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं | (vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं |
| (f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं | (v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं |
स्पष्टीकरण:
(a) क्योंकि 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20
= 1 – 1 + 1 – 1 + ... + 1 = 1 (जो शुद्धत: एक वास्तविक सम्मिश्र संख्या है)
(b) क्योंकि `i^(-1097) = 1/((i)^1097) = 1/(i^(4 xx 274 + 1)`
= `1/((i^4)^274i) = 1/i = i/i^2 = – i`, जो शुद्धत: एक काल्पनिक सम्मिश्र संख्या है।
(c) 1 + i का संयुग्मी 1 - i है, जो बिंदु (1, -1) से निरूपित किया जाता है और यह चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
(d) क्योंकि `(1 + 2i)/(1 - i) = (1 + 2i)/(1 - i) xx (1 + i)/(1 + i)`
= `(-1 + 3i)/2` = `-1/2 + 3/2 i`, जिसे द्वितीय चतुर्थांश में बिंदु `(-1/2, 3/2)` से निरूपित किया जाता है।
(e) यदि b2 - 4ac < 0 तो = D < 0 अर्थात् D का वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या है। अतः मूल `x = (-b ± "काल्पनिक संख्या")/(2a)` है, अर्थात् मूल संयुग्मी युग्मों में हैं।
(f) समीकरण `x^2 - (5 + sqrt2)x + 5sqrt2 = 0` पर विचार कीजिए, जहाँ a = 1, `b = -(5 + sqrt2), c = 5sqrt2` स्पष्टतः a, b, c ∈ R
अब D = `b^2 - 4ac = {-(5 + sqrt2)}^2 - 4.1.5sqrt2 = (5 - sqrt2)^2`
अतः `x = (5 + sqrt2 ± (5 - sqrt2))/2 = 5, sqrt2` जिससे संयुग्मी युग्म नहीं बनता है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:
`(1+3i)/(1-2i)`
यदि z1, z2, z3 ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि `|z_1| = |z_2| = |z_3| = |1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3|` = 1, तो |z1 + z2 + z3| का मान ज्ञात कीजिए।
'a' का वास्तविक मान जिसके लिए 3i3 – 2ai2 + (1 – a)i + 5 वास्तविक है ______ होगा।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
सम्मिश्र संख्या z, जिसके लिए |z + 1| < |z - 1| है, को निरूपित करने वाले बिंदु एक वृत्त के अभ्यंतर में स्थित होते हैं।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
यदि n एक धनात्मक पूर्णाक है, तो in + (i)n+1 + (i)n+2 + (i)n+3 का मान शून्य है।
वह कौन-सा न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक n हैं, जिसके लिए (1 + i)2n = (1 – i)2n?
1 - i के कोणांक का मुख्य मान क्या है?
समीकरण |z + 1 - i| = |z - 1 + i| निरूपित करता है एक
`sum_(n = 1)^13 (i^n + i^(n + 1))` का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ n ∈ N
यदि `((1 + i)/(1 - i))^3 - ((1 - i)/(1 + i))^3` = x + iy, तो (x, y) ज्ञात कीजिए।
यदि `((1 - i)/(1 + i))^100` = a + ib है, तो (a, b) ज्ञात कीजिए।
समीकरण |z| = z + 1 + 2i को हल कीजिए।
यदि |z1| = |z2| = ... = |zn| = 1, तो दर्शाइए कि |z1 + z2 + z3 + ... + zn| = `|1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3 + ... + 1/z_n|`
समीकरण `z + sqrt(2) |(z + 1)| + i` = 0 को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या ज्ञात कीजिए।
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1, z2 और किन्हीं वास्तविक संख्याओं a, b, के लिए, |az1 – bz2|2 + |bz1 + az2|2 = ______
`sqrt(-25) xx sqrt(-9)` का मान ______ है।
यदि |z + 4| ≤ 3, तो |z + 1| के अधिकतम और न्यूनतम मान ______ एवं ______ हैं।
यदि `|(z - 2)/(z + 2)| = pi/6` है, तो z का बिंदु पथ ______ है।
(z + 3) (`overlinez` + 3) का मान निम्नलिखित में से किसके समतुल्य है
यदि सम्मिश्र संख्या 2 − i से निरूपित बिंदु को मूलबिंदु के प्रति दक्षिणावर्त दिशा में एक कोण `π/2` पर घुमाया जाए, तो उस बिंदु की नयी स्थिति होगी
मान लीजिए कि x, y ∈ R, तो x + iy एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है, यदि
प्रतिबंध `|(i + z)/(i - z)| = 1` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या स्थित होगी:
यदि z एक सम्मिश्र संख्या है, तो
