Question

स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए:

स्तंभ A	स्तंभ B
(a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है	(i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या
(b) `i^(-1097)` का मान है	(ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या
(c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है	(iii) द्वितीय चतुर्थांश
(d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है	(iv) चौथा चतुर्थांश
(e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं	(v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं
(f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं	(vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं

Answer 1

स्तंभ A	उत्तर
(a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है	(ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या
(b) `i^(-1097)` का मान है	(i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या
(c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है	(iv) चौथा चतुर्थांश
(d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है	(iii) द्वितीय चतुर्थांश
(e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं	(vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं
(f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं	(v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं

स्पष्टीकरण:

(a) क्योंकि 1 + i² + i⁴ + i⁶ + ... i²⁰

 = 1 – 1 + 1 – 1 + ... + 1 = 1 (जो शुद्धत: एक वास्तविक सम्मिश्र संख्या है)

(b) क्योंकि `i^(-1097) = 1/((i)^1097) = 1/(i^(4 xx 274 + 1)`

= `1/((i^4)^274i) = 1/i  = i/i^2 = – i`, जो शुद्धत: एक काल्पनिक सम्मिश्र संख्या है।

(c) 1 + i का संयुग्मी 1 - i है, जो बिंदु (1, -1) से निरूपित किया जाता है और यह चौथे चतुर्थांश में स्थित है।

(d) क्योंकि `(1 + 2i)/(1 - i) = (1 + 2i)/(1 - i) xx (1 + i)/(1 + i)`

= `(-1 + 3i)/2` = `-1/2 + 3/2 i`, जिसे द्वितीय चतुर्थांश में बिंदु `(-1/2, 3/2)` से निरूपित किया जाता है।

(e) यदि b² - 4ac < 0 तो = D < 0 अर्थात्‌ D का वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या है। अतः मूल `x = (-b ± "काल्पनिक संख्या")/(2a)` है, अर्थात्‌ मूल संयुग्मी युग्मों में हैं।

(f) समीकरण `x^2 - (5 + sqrt2)x + 5sqrt2 = 0` पर विचार कीजिए, जहाँ a = 1, `b = -(5 + sqrt2), c = 5sqrt2` स्पष्टतः a, b, c ∈ R

अब D = `b^2 - 4ac = {-(5 + sqrt2)}^2 - 4.1.5sqrt2 = (5 - sqrt2)^2`

अतः `x = (5 + sqrt2 ± (5 - sqrt2))/2 = 5, sqrt2` जिससे संयुग्मी युग्म नहीं बनता है।