Commerce (Hindi Medium) Class 11 [कक्षा ११] - CBSE Question Bank Solutions

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए 3²ⁿ − 1 संख्या 8 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

किसी प्राकृत संख्या n के लिए 7ⁿ − 2ⁿ संख्या 5 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

किसी प्राकृत संख्या n के लिए, xⁿ − yⁿ, x − y से भाज्य है, जहाँ x तथा y पूर्णांक है और x ≠ y.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n³ − n, संख्या 6 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n² + 5), संख्या 6 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n² < 2ⁿ.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n² + n.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 2² + ... + 2ⁿ = 2^{n + 1} − 1.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a₁, a₂, a₃ ...., a₁ = 3 तथा a_k = 7a_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए a_n = 3.7ⁿ⁻¹.

सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b₀, b₁, b₂ ...., b₀ = 5 तथा b_k = 4 + b_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए b_n = 5 + 4n.

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d₁, d₂, d₃ ..., d₁ = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,

cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n  - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin  beta/2)`

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos2²θ ... cos2ⁿ⁻¹θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin  ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin  theta/2)`

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।

सभी प्राकृत संख्या n > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि n भिन्न-भिन्न distinct अवयव वाले (अंतर्विष्ट किए हुए) समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ है।