Question

यदि |z + 1| = z + 2(1 + i) है, तो z ज्ञात कीजिए।

Answer 1

पता है कि, |z + 1| = z + 2(1 + i)

मानो, z = x + iy

डालो फिर, |x + iy + 1| = (x + iy) + 2(1 + i)

⇒ |(x + 1) + iy| = x + iy + 2 + 2i

⇒ |(x + 1) + iy| = (x + 2) + (y + 2)i

⇒ `sqrt((x + 1)^2 + y^2)` = (x + 2) + (y + 2)i   ......`[because |x + iy| = sqrt(x^2 + y^2)]`

दोनों बाजू का वर्गमूल निकालने पर, हमें मिला,

(x + 1)² + y² = (x + 2)² + (y + 2)² .i² + 2(x + 2)(y + 2)i

⇒ x² + 1 + 2x + y² = x² + 4 + 4x – y² – 4y – 4 + 2(x + 2)(y + 2)i

वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करें,

x² + 1 + 2x + y² = x² + 4x – y² – 4y और 2(x + 2)(y + 2) = 0

⇒ 2y² – 2x + 4y + 1 = 0   ......(i)

और (x + 2)(y + 2) = 0  .....(ii)

x + 2 = 0 or y + 2 = 0

∴ x = –2 or y = –2

अब X = –2 समीकरण (i) में डालें।

2y² – 2 × (–2) + 4y + 1 = 0

⇒ 2y² + 4 + 4y + 1 = 0 

⇒ y² + 4y + 5 = 0

b² – 4ac = (4)² – 4 × 2 × 5

16 – 40 = –24 < 0 कोई वास्तविक जड़ें नहीं।

समीकरण (i) में y = –2 डालें,

2(–2)² – 2x + 4(–2) + 1 = 0

8 – 2x – 8 + 1 = 0

⇒ x = `1/2` और y = –2

इसलिए, z = x + iy = `(1/2 - 2i)`