Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि |z + 1| = z + 2(1 + i) है, तो z ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
पता है कि, |z + 1| = z + 2(1 + i)
मानो, z = x + iy
डालो फिर, |x + iy + 1| = (x + iy) + 2(1 + i)
⇒ |(x + 1) + iy| = x + iy + 2 + 2i
⇒ |(x + 1) + iy| = (x + 2) + (y + 2)i
⇒ `sqrt((x + 1)^2 + y^2)` = (x + 2) + (y + 2)i ......`[because |x + iy| = sqrt(x^2 + y^2)]`
दोनों बाजू का वर्गमूल निकालने पर, हमें मिला,
(x + 1)2 + y2 = (x + 2)2 + (y + 2)2 .i2 + 2(x + 2)(y + 2)i
⇒ x2 + 1 + 2x + y2 = x2 + 4 + 4x – y2 – 4y – 4 + 2(x + 2)(y + 2)i
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करें,
x2 + 1 + 2x + y2 = x2 + 4x – y2 – 4y और 2(x + 2)(y + 2) = 0
⇒ 2y2 – 2x + 4y + 1 = 0 ......(i)
और (x + 2)(y + 2) = 0 .....(ii)
x + 2 = 0 or y + 2 = 0
∴ x = –2 or y = –2
अब X = –2 समीकरण (i) में डालें।
2y2 – 2 × (–2) + 4y + 1 = 0
⇒ 2y2 + 4 + 4y + 1 = 0
⇒ y2 + 4y + 5 = 0
b2 – 4ac = (4)2 – 4 × 2 × 5
16 – 40 = –24 < 0 कोई वास्तविक जड़ें नहीं।
समीकरण (i) में y = –2 डालें,
2(–2)2 – 2x + 4(–2) + 1 = 0
8 – 2x – 8 + 1 = 0
⇒ x = `1/2` और y = –2
इसलिए, z = x + iy = `(1/2 - 2i)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए:
4 - 3i
सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए:
`sqrt5 + 3i`
निम्नलिखित व्यंजक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए:
`((3 + isqrt5)(3 - isqrt5))/((sqrt3 + sqrt2i)-(sqrt3 - isqrt2))`
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए:
1 – i
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:
`(1+7i)/(2-i)^2`
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:
`(1+3i)/(1-2i)`
यदि (a + ib )(c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB है तो दर्शाइए कि (a2 + b2) (c2 + d2) (e2 + f2) (g2 + h2) = A2 + B2
यदि `((1+i)/(1-i))^m` = 1, तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
मान ज्ञात कीजिए: (1 + i)6 + (1 – i)3
यदि `(x + iy)^(1/3)` = a + ib, जहाँ y, a, b ∈ R हे तो दर्शाइए कि `x/a - y/b` = –2(a2 + b2)
वे बिंदु निर्धारित कीजिए, जिनके लिए 3 < |z| < 4
'a' का वास्तविक मान जिसके लिए 3i3 – 2ai2 + (1 – a)i + 5 वास्तविक है ______ होगा।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
सम्मिश्र संख्या cosθ + isinθ, θ के किसी मान के लिए शून्य हो सकती है।
`(i^(4n + 1) -i^(4n - 1))/2` का क्या मान है?
वह कौन-सा न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक n हैं, जिसके लिए (1 + i)2n = (1 – i)2n?
z का बिंदु पथ क्या होगा, यदि z – 2 – 3i का कोणांक `pi/4` है?
यदि `((1 - i)/(1 + i))^100` = a + ib है, तो (a, b) ज्ञात कीजिए।
यदि `(barz + 2)/(barz - 1)` का वास्तविक भाग 4 है, तो दशाइए कि z को निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ सम्मिश्र तल में एक वृत्त है।
यदि |z1| = 1(z1 ≠ –1) और z2 = `(z_1 - 1)/(z_1 + 1)`, तो दर्शाइए कि z2 का वास्तविक भाग शून्य है।
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1, z2 और किन्हीं वास्तविक संख्याओं a, b, के लिए, |az1 – bz2|2 + |bz1 + az2|2 = ______
संख्या `(1 - i)^3/(1 - i^3)` ______ के बराबर है।
श्रेणी i + i2 + i3 + .... का 1000 पदों तक का योग ______ है।
यदि |z + 4| ≤ 3, तो |z + 1| के अधिकतम और न्यूनतम मान ______ एवं ______ हैं।
यदि `|(z - 5i)/(z + 5i)|` = 1, तो z कहाँ स्थित है?
मान लीजिए कि x, y ∈ R, तो x + iy एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है, यदि
यदि a + ib = c + id, तो
प्रतिबंध `|(i + z)/(i - z)| = 1` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या स्थित होगी:
