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Question
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है | यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि:
ar(ABE) = ar(ACF)
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Solution
दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ EY || BC
BE || AC ⇒ BE || CY
अत: EBCY एक समांतर चतुर्भुज है।दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ XF || BC
FC || AB ⇒ FC || XB
अत: BCFX एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज EBCY और BCFX एक ही आधार BC पर और समान समांतर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (EBCY) = क्षेत्रफल (BCFX) ... (1)
समांतर चतुर्भुज EBCY और AEB पर विचार करें
ये एक ही आधार BE पर स्थित हैं और एक ही समान्तर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔABE) = 1/2 क्षेत्रफल (EBCY) ... (2)
साथ ही, समांतर चतुर्भुज BCFX और ΔACF एक ही आधार CF पर और समान समांतर रेखाओं CF और AB के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACF) = 1/2 क्षेत्रफल (BCFX) ... (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔABE) = क्षेत्रफल (ΔACF)
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(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
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(i) ar (DOC) = ar (AOB)
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