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Question
एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)
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Solution
दिया गया है - समलंब ABCD में, AB || DC, DC Q में उत्पादित और L, BC का मध्य-बिंदु है।
∴ BL = CL
सिद्ध करना है - ar (ABCD) = ar (APQD)
प्रमाण - चूँकि, DC का उत्पादन Q में होता है और AB || DC।
तो, DQ || AB
ΔCLQ और ΔBLP में,
CL = BL ...[चूँकि L, BC का मध्य-बिंदु है।]
∠LCQ = ∠LBP ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण क्योंकि BC एक तिर्यक रेखा है।]
∠CQL = ∠LPB ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण, क्योंकि PQ एक तिर्यक रेखा है।]
∴ ΔCLQ ≅ ΔBLP ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
तब, ar (ΔCLQ) = ar (ΔBLP) [चूँकि, सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।] ...(i)
अब, ar (ABCD) = ar (APQD) – ar (ΔCQL) + ar (ΔBLP)
= ar (APQD) – ar (ΔBLP) + ar (ΔBLP) ...[समीकरण (i) से]
⇒ ar (ABCD) = ar (APQD)
अतः सिद्ध हुआ।
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ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं | यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD) है
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है, तो दर्शाइए की
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
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[संकेत: D और B से AC पर लंब खींचिए।]
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है |
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
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निम्नलिखित आकृति में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।
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