Advertisements
Advertisements
Question
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
Advertisements
Solution
दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और P, F, R और S क्रमशः भुजाओं BC, CD, AD और AB के मध्य-बिंदु हैं और PFRS एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है - ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज ABCD)
रचना - BD और BR को मिलाइए।
उपपत्ति - माध्यिका BR, ΔBDA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔBRA) = `1/2` ar (ΔBDA) ...(i)
इसी प्रकार, माध्यिका RS, ΔBRA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔASR) = `1/2` ar (ΔBRA) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
ar (ΔASR) = `1/4` ar (ΔBDA) ...(iii)
इसी प्रकार, ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBCD) ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBDA) ...[ar (ΔBDA) + ar (ΔBCD)]
⇒ ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(v)
इसी प्रकार, ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vi)
समीकरण (v) और (vi) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vii)
लेकिन ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) + ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = ar (चतुर्भुज BCDA) ...(viii)
समीकरण (vii) को समीकरण (viii) से घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA)
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
दी गई आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है |
[संकेत : CX को मिलाइए]
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
निम्नलिखित आकृति में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEM समान क्षेत्रफल के हैं, तो ______।
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु किसी भी एक शीर्ष को चौथा बिंदु लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर है
ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD ______।
PQRS एक आयत है, जो त्रिज्या 13 cm वाले एक वृत्त के चतुर्थांश के अंतर्गत है। A भुजा PQ पर स्थित कोई बिंदु है। यदि PS = 5 cm है, तो ar (PAS) = 30 cm2 है।
निम्नलिखित आकृति में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।
X और Y त्रिभुज LMN की भुजा LN पर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि LX = XY = YN हैं। X से होकर जाती हुई एक रेखा LM के समांतर खींची गई जो MN को Z पर मिलती है। (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि ar (LZY) = ar (MZYX) है।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए :
ar (ΔABD)
