Advertisements
Advertisements
Question
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
Advertisements
Solution
दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और P, F, R और S क्रमशः भुजाओं BC, CD, AD और AB के मध्य-बिंदु हैं और PFRS एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है - ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज ABCD)
रचना - BD और BR को मिलाइए।
उपपत्ति - माध्यिका BR, ΔBDA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔBRA) = `1/2` ar (ΔBDA) ...(i)
इसी प्रकार, माध्यिका RS, ΔBRA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔASR) = `1/2` ar (ΔBRA) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
ar (ΔASR) = `1/4` ar (ΔBDA) ...(iii)
इसी प्रकार, ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBCD) ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBDA) ...[ar (ΔBDA) + ar (ΔBCD)]
⇒ ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(v)
इसी प्रकार, ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vi)
समीकरण (v) और (vi) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vii)
लेकिन ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) + ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = ar (चतुर्भुज BCDA) ...(viii)
समीकरण (vii) को समीकरण (viii) से घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA)
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
दी गई आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।
यदि E, F, G और H क्रमशः एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = `1/2`ar (ABCD) हैं
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है |
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
निम्नलिखित आकृति में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEM समान क्षेत्रफल के हैं, तो ______।
दो समांतर चतुर्भुज बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
निम्नलिखित आकृति में, ABCD और EFGD समांतर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिंदु है। तब, ar (DPC) = `1/2` ar (EFGD) है।
निम्नलिखित आकृति में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।
