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प्रश्न
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
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उत्तर
दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और P, F, R और S क्रमशः भुजाओं BC, CD, AD और AB के मध्य-बिंदु हैं और PFRS एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है - ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज ABCD)
रचना - BD और BR को मिलाइए।
उपपत्ति - माध्यिका BR, ΔBDA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔBRA) = `1/2` ar (ΔBDA) ...(i)
इसी प्रकार, माध्यिका RS, ΔBRA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔASR) = `1/2` ar (ΔBRA) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
ar (ΔASR) = `1/4` ar (ΔBDA) ...(iii)
इसी प्रकार, ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBCD) ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBDA) ...[ar (ΔBDA) + ar (ΔBCD)]
⇒ ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(v)
इसी प्रकार, ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vi)
समीकरण (v) और (vi) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vii)
लेकिन ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) + ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = ar (चतुर्भुज BCDA) ...(viii)
समीकरण (vii) को समीकरण (viii) से घटाने पर, हम पाते हैं।
ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA)
अतः सिद्ध हुआ।
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