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प्रश्न
∆ABC, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है। यदि रेखाखंड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = `1/2` ar (∆ABC) है।
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उत्तर
दिया गया है - ∆ABC में, D, AB का मध्य-बिंदु है और P, BC पर कोई बिंदु है।
CQ || PD का अर्थ Q में AB है।
सिद्ध करना है - ar (∆BPQ) = `1/2` ar (∆ABC)
रचना - PQ और CD को मिलाइए।
उपपत्ति - चूँकि, D, AB का मध्य-बिंदु है। तो, CD, ∆ABC की माध्यिका है।
हम जानते हैं कि, त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (∆BCD) = `1/2` ar (∆ABC)
⇒ ar (∆BPD) + ar (∆DPC) = `1/2` ar (∆ABC) ...(i)
अब, ∆DPQ और ∆DPC एक ही आधार DP पर और समान समांतर रेखाओं DP और CQ के बीच स्थित हैं।
इसलिए, ar (∆DPQ) = ar (∆DPC) ...(ii)
समीकरण (ii) से मान को समीकरण (i) में रखने पर, हम पाते हैं।
ar (∆BPD) + ar (∆DPQ) = `1/2` ar (∆ABC)
⇒ ar (∆BPQ) = `1/2` ar (∆ABC)
अतः सिद्ध हुआ।
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