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Question
∆ABC, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है। यदि रेखाखंड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = `1/2` ar (∆ABC) है।
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Solution
दिया गया है - ∆ABC में, D, AB का मध्य-बिंदु है और P, BC पर कोई बिंदु है।
CQ || PD का अर्थ Q में AB है।
सिद्ध करना है - ar (∆BPQ) = `1/2` ar (∆ABC)
रचना - PQ और CD को मिलाइए।
उपपत्ति - चूँकि, D, AB का मध्य-बिंदु है। तो, CD, ∆ABC की माध्यिका है।
हम जानते हैं कि, त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (∆BCD) = `1/2` ar (∆ABC)
⇒ ar (∆BPD) + ar (∆DPC) = `1/2` ar (∆ABC) ...(i)
अब, ∆DPQ और ∆DPC एक ही आधार DP पर और समान समांतर रेखाओं DP और CQ के बीच स्थित हैं।
इसलिए, ar (∆DPQ) = ar (∆DPC) ...(ii)
समीकरण (ii) से मान को समीकरण (i) में रखने पर, हम पाते हैं।
ar (∆BPD) + ar (∆DPQ) = `1/2` ar (∆ABC)
⇒ ar (∆BPQ) = `1/2` ar (∆ABC)
अतः सिद्ध हुआ।
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ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं | यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD) है
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है, तो दर्शाइए की
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
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[संकेत: D और B से AC पर लंब खींचिए।]
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क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
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