Question

∆ABC, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है। यदि रेखाखंड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = `1/2` ar (∆ABC) है।

Answer 1

दिया गया है - ∆ABC में, D, AB का मध्य-बिंदु है और P, BC पर कोई बिंदु है।

CQ || PD का अर्थ Q में AB है।

सिद्ध करना है -  ar (∆BPQ) = `1/2` ar (∆ABC) 

रचना - PQ और CD को मिलाइए। 

उपपत्ति - चूँकि, D, AB का मध्य-बिंदु है। तो, CD, ∆ABC की माध्यिका है।

हम जानते हैं कि, त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

∴ ar (∆BCD) = `1/2` ar (∆ABC)

⇒ ar (∆BPD) + ar (∆DPC) = `1/2` ar (∆ABC)  ...(i)

अब, ∆DPQ और ∆DPC एक ही आधार DP पर और समान समांतर रेखाओं DP और CQ के बीच स्थित हैं।

इसलिए, ar (∆DPQ) = ar (∆DPC)  ...(ii) 

समीकरण (ii) से मान को समीकरण (i) में रखने पर, हम पाते हैं।

ar (∆BPD) + ar (∆DPQ) = `1/2` ar (∆ABC)

⇒ ar (∆BPQ) = `1/2` ar (∆ABC)

अतः सिद्ध हुआ।