Advertisements
Advertisements
प्रश्न
D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
Advertisements
उत्तर
(i) In ΔABC,
E और F क्रमशः भुजा AC और AB के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए, EF || BC और EF = `1/2` BC (मध्य-बिंदु प्रमेय)
हालाँकि, BD = `1/2` BC (D, BC का मध्य-बिंदु है)
इसलिए, BD = EF and BD || EF
अत: BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ऊपर प्राप्त परिणाम का उपयोग करते हुए, यह कहा जा सकता है कि चतुर्भुज BDEF, DCEF, AFDE समांतर चतुर्भुज हैं।
हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔBFD) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समांतर चतुर्भुज BD के लिए)
क्षेत्रफल (ΔCDE) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज DCEF के लिए)
क्षेत्रफल (ΔAFE) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज AFDE के लिए)
क्षेत्रफल (ΔAFE) = क्षेत्रफल (ΔBFD) = क्षेत्रफल (ΔCDE) = क्षेत्रफल (ΔDEF)
भी,
क्षेत्रफल (ΔAFE) + क्षेत्रफल (ΔBDF) + क्षेत्रफल (ΔCDE) + क्षेत्रफल (ΔDEF) = क्षेत्रफल (ΔABC)
क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) = क्षेत्र (ΔABC)
4 क्षेत्रफल (ΔDEF) = क्षेत्रफल (ΔABC)
क्षेत्रफल (ΔDEF) = `1/4` क्षेत्र (ΔABC)
(iii) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = क्षेत्रफल (ΔDEF) + क्षेत्रफल (ΔBDF)
क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)
= क्षेत्रफल (ΔDEF) + क्षेत्रफल (ΔDEF)
⇒ क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)
= 2 क्षेत्रफल (ΔDEF)
= क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)= `2xx1/4 "क्षेत्रफल"(ΔABC)`
= क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = `1/2` क्षेत्र (ΔABC)
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं | यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD) है
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है |
[संकेत : CX को मिलाइए]
8 cm और 6 cm भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति है :
निम्नलिखित आकृति में, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है :
दो समांतर चतुर्भुज बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है
ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD ______।
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। तब, ar (BDE) = `1/4` ar (ABC) है।
निम्नलिखित आकृति में, ABCD और EFGD समांतर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिंदु है। तब, ar (DPC) = `1/2` ar (EFGD) है।
∆ABC, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है। यदि रेखाखंड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = `1/2` ar (∆ABC) है।
