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प्रश्न
यदि E, F, G और H क्रमशः एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = `1/2`ar (ABCD) हैं
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उत्तर
HF से जुड़ें।
समांतर चतुर्भुज ABCD में,
AD = BC और एडी || BC (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं)
AB = CD (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
`1/2` AD = `1/2` BC और AH || BF के
AH = BF और AH || BF (∵ H और F AD और BC के मध्य-बिंदु हैं)
अत: ABFH एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि HEF और समांतर चतुर्भुज ABFH एक ही आधार HF और समान समानांतर रेखाओं AB और HF के बीच स्थित हैं,
क्षेत्रफल (ΔHEF) = `1/2` क्षेत्र (ABFH) ... (1)
इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि
क्षेत्रफल (ΔHGF) = 1/2क्षेत्र (HDCF) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्र(ΔHEF) + क्षेत्र (ΔHGF) = `1/2` क्षेत्र (ABFH) + `1/2` क्षेत्र (HDCF)
= `1/2` [क्षेत्रफल (ABFH) + क्षेत्रफल (HDCF)]
क्षेत्रफल (EFGH) = `1/2` क्षेत्र (ABCD)
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(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
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[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
