Question

निम्नलिखित आकृति में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।

Answer 1

दिया गया है - एक समांतर चतुर्भुज PSDA में, बिंदु Q और R, PS पर इस प्रकार हैं कि

PQ = QR = RS और PA || QB || RC

सिद्ध करना है - ar (PQE) = ar (CFD)

उपपत्ति - समांतर चतुर्भुज PABQ में,

और PA || QB  ...[दिया गया है।]

तो, PABQ एक समांतर चतुर्भुज है।

PQ = AB   ...(i)

इसी प्रकार, QBCR भी एक समांतर चतुर्भुज है।

QR = BC  ...(ii)

और RCDS एक समांतर चतुर्भुज है।

RS = CD   ...(iii)

अब, PQ = QR = RS  ...(iv)

समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) से,

PQ || AB  ...[∴ समान्तर चतुर्भुज PSDA में, PS || AD]

ΔPQE और ΔDCF में,

∠QPE = ∠FDC  ...[चूंकि, PS || AD और PD तिर्यक रेखा है, तो एकांतर अंत: कोण बराबर होते हैं।] 

PQ = CD   ...[समीकरण (v) से]

और ∠PQE = ∠FCD  ...[∴ ∠PQE = ∠PRC संगत कोण और ∠PRC = ∠FCD वैकल्पिक आंतरिक कोण]

ΔPQE = ΔDCF  ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]

∴ ar (ΔPQE) = ar (ΔCFD)  ...[चूँकि, सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है।]

अतः सिद्ध हुआ।