Advertisements
Advertisements
प्रश्न
निम्नलिखित आकृति में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - एक समांतर चतुर्भुज PSDA में, बिंदु Q और R, PS पर इस प्रकार हैं कि
PQ = QR = RS और PA || QB || RC
सिद्ध करना है - ar (PQE) = ar (CFD)
उपपत्ति - समांतर चतुर्भुज PABQ में,
और PA || QB ...[दिया गया है।]
तो, PABQ एक समांतर चतुर्भुज है।
PQ = AB ...(i)
इसी प्रकार, QBCR भी एक समांतर चतुर्भुज है।
QR = BC ...(ii)
और RCDS एक समांतर चतुर्भुज है।
RS = CD ...(iii)
अब, PQ = QR = RS ...(iv)
समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) से,
PQ || AB ...[∴ समान्तर चतुर्भुज PSDA में, PS || AD]
ΔPQE और ΔDCF में,
∠QPE = ∠FDC ...[चूंकि, PS || AD और PD तिर्यक रेखा है, तो एकांतर अंत: कोण बराबर होते हैं।]
PQ = CD ...[समीकरण (v) से]
और ∠PQE = ∠FCD ...[∴ ∠PQE = ∠PRC संगत कोण और ∠PRC = ∠FCD वैकल्पिक आंतरिक कोण]
ΔPQE = ΔDCF ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]
∴ ar (ΔPQE) = ar (ΔCFD) ...[चूँकि, सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है।]
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है |
[संकेत : CX को मिलाइए]
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
निम्नलिखित आकृति में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEM समान क्षेत्रफल के हैं, तो ______।
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु किसी भी एक शीर्ष को चौथा बिंदु लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर है
दो समांतर चतुर्भुज बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
PQRS एक आयत है, जो त्रिज्या 13 cm वाले एक वृत्त के चतुर्थांश के अंतर्गत है। A भुजा PQ पर स्थित कोई बिंदु है। यदि PS = 5 cm है, तो ar (PAS) = 30 cm2 है।
निम्नलिखित आकृति में, ABCD और EFGD समांतर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिंदु है। तब, ar (DPC) = `1/2` ar (EFGD) है।
X और Y त्रिभुज LMN की भुजा LN पर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि LX = XY = YN हैं। X से होकर जाती हुई एक रेखा LM के समांतर खींची गई जो MN को Z पर मिलती है। (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि ar (LZY) = ar (MZYX) है।
एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)
