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प्रश्न
यदि E, F, G और H क्रमशः एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = `1/2`ar (ABCD) हैं
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उत्तर
HF से जुड़ें।
समांतर चतुर्भुज ABCD में,
AD = BC और एडी || BC (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं)
AB = CD (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
`1/2` AD = `1/2` BC और AH || BF के
AH = BF और AH || BF (∵ H और F AD और BC के मध्य-बिंदु हैं)
अत: ABFH एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि HEF और समांतर चतुर्भुज ABFH एक ही आधार HF और समान समानांतर रेखाओं AB और HF के बीच स्थित हैं,
क्षेत्रफल (ΔHEF) = `1/2` क्षेत्र (ABFH) ... (1)
इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि
क्षेत्रफल (ΔHGF) = 1/2क्षेत्र (HDCF) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्र(ΔHEF) + क्षेत्र (ΔHGF) = `1/2` क्षेत्र (ABFH) + `1/2` क्षेत्र (HDCF)
= `1/2` [क्षेत्रफल (ABFH) + क्षेत्रफल (HDCF)]
क्षेत्रफल (EFGH) = `1/2` क्षेत्र (ABCD)
संबंधित प्रश्न
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
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एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है
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एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)
