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प्रश्न
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है | यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि:
ar(ABE) = ar(ACF)
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उत्तर
दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ EY || BC
BE || AC ⇒ BE || CY
अत: EBCY एक समांतर चतुर्भुज है।दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ XF || BC
FC || AB ⇒ FC || XB
अत: BCFX एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज EBCY और BCFX एक ही आधार BC पर और समान समांतर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (EBCY) = क्षेत्रफल (BCFX) ... (1)
समांतर चतुर्भुज EBCY और AEB पर विचार करें
ये एक ही आधार BE पर स्थित हैं और एक ही समान्तर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔABE) = 1/2 क्षेत्रफल (EBCY) ... (2)
साथ ही, समांतर चतुर्भुज BCFX और ΔACF एक ही आधार CF पर और समान समांतर रेखाओं CF और AB के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACF) = 1/2 क्षेत्रफल (BCFX) ... (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔABE) = क्षेत्रफल (ΔACF)
संबंधित प्रश्न
D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
निम्नलिखित आकृति में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEM समान क्षेत्रफल के हैं, तो ______।
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु किसी भी एक शीर्ष को चौथा बिंदु लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर है
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
X और Y त्रिभुज LMN की भुजा LN पर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि LX = XY = YN हैं। X से होकर जाती हुई एक रेखा LM के समांतर खींची गई जो MN को Z पर मिलती है। (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि ar (LZY) = ar (MZYX) है।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है (आकृति)। ज्ञात कीजिए :
- ar (ABEF)
- ar (ABD)
- ar (BEF)
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए :
ar (ΔABD)
एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
