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प्रश्न
एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)
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उत्तर
दिया गया है - समलंब ABCD में, AB || DC, DC Q में उत्पादित और L, BC का मध्य-बिंदु है।
∴ BL = CL
सिद्ध करना है - ar (ABCD) = ar (APQD)
प्रमाण - चूँकि, DC का उत्पादन Q में होता है और AB || DC।
तो, DQ || AB
ΔCLQ और ΔBLP में,
CL = BL ...[चूँकि L, BC का मध्य-बिंदु है।]
∠LCQ = ∠LBP ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण क्योंकि BC एक तिर्यक रेखा है।]
∠CQL = ∠LPB ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण, क्योंकि PQ एक तिर्यक रेखा है।]
∴ ΔCLQ ≅ ΔBLP ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
तब, ar (ΔCLQ) = ar (ΔBLP) [चूँकि, सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।] ...(i)
अब, ar (ABCD) = ar (APQD) – ar (ΔCQL) + ar (ΔBLP)
= ar (APQD) – ar (ΔBLP) + ar (ΔBLP) ...[समीकरण (i) से]
⇒ ar (ABCD) = ar (APQD)
अतः सिद्ध हुआ।
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D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
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(i) ar (DOC) = ar (AOB)
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[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
