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ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं - Mathematics (गणित)

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प्रश्न

ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं

पर्याय

  • a : b

  • (3a + b) : (a + 3b)

  • (a + 3b) : (3a + b)

  • (2a + b) : (3a + b)

MCQ
रिकाम्या जागा भरा
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उत्तर

(3a + b) : (a + 3b)

स्पष्टीकरण - 

दिया गया है, AB = a cm, DC = b cm और AB || DC।

साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।

तो, CD, EF और AB, EF के बीच की दूरी समान होगी, मान लीजिए h।


BD को मिलाइए जो EF को M पर प्रतिच्छेद करती है।

अब, ΔABD में, AD और EM || AB का मध्य-बिंदु E है।

तो, M, BD का मध्य-बिंदु है।

और EM = `1/2` AB [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]  ...(i)

इसी प्रकार ΔCBD में, MF = `1/2`CD  ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।

EM + MF = `1/2` AB + `1/2` CD

⇒ EF = `1/2`(AB + CD) = `1/2`(a + b)

अब, समलंब ABFE का क्षेत्रफल

= `1/2` (समांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)

= `1/2(a + 1/2(a + b)) xx h`

 = `1/4(3a + b)h`

अब, समलंब EFCD का क्षेत्रफल

= `1/2[b + 1/2(a + b)] xx h` 

= `1/4(3b + a)h`

∴ आवश्यक अनुपात = `"ABFE का क्षेत्रफल"/"EFCD का क्षेत्रफल"`

= `(1/4(3a + b)h)/(1/4(3b + a)h)`

= `((3a + b))/((a + 3b))` या (3a + b) : (a + 3b)

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एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच आकृतियाँ
  या प्रश्नात किंवा उत्तरात काही त्रुटी आहे का?
पाठ 9: समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल - प्रश्नावली 9.1 [पृष्ठ ८८]

APPEARS IN

एनसीईआरटी एक्झांप्लर Mathematics [Hindi] Class 9
पाठ 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
प्रश्नावली 9.1 | Q 10. | पृष्ठ ८८

संबंधित प्रश्‍न

एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है |


आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E  इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।

क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?

[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]


8 cm और 6 cm भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति है :


निम्नलिखित आकृति में, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है :


ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD ______।


एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है


ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। तब, ar (BDE) = `1/4` ar (ABC) है।


निम्नलिखित आकृति में, ABCD और EFGD समांतर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिंदु है। तब, ar (DPC) = `1/2` ar (EFGD) है। 


X और Y त्रिभुज LMN की भुजा LN पर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि LX = XY = YN हैं। X से होकर जाती हुई एक रेखा LM के समांतर खींची गई जो MN को Z पर मिलती है। (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि ar (LZY) = ar (MZYX) है।


समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए :

ar (ΔABD)


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