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प्रश्न
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
पर्याय
a : b
(3a + b) : (a + 3b)
(a + 3b) : (3a + b)
(2a + b) : (3a + b)
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उत्तर
(3a + b) : (a + 3b)
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, AB = a cm, DC = b cm और AB || DC।
साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।
तो, CD, EF और AB, EF के बीच की दूरी समान होगी, मान लीजिए h।
BD को मिलाइए जो EF को M पर प्रतिच्छेद करती है।
अब, ΔABD में, AD और EM || AB का मध्य-बिंदु E है।
तो, M, BD का मध्य-बिंदु है।
और EM = `1/2` AB [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(i)
इसी प्रकार ΔCBD में, MF = `1/2`CD ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
EM + MF = `1/2` AB + `1/2` CD
⇒ EF = `1/2`(AB + CD) = `1/2`(a + b)
अब, समलंब ABFE का क्षेत्रफल
= `1/2` (समांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)
= `1/2(a + 1/2(a + b)) xx h`
= `1/4(3a + b)h`
अब, समलंब EFCD का क्षेत्रफल
= `1/2[b + 1/2(a + b)] xx h`
= `1/4(3b + a)h`
∴ आवश्यक अनुपात = `"ABFE का क्षेत्रफल"/"EFCD का क्षेत्रफल"`
= `(1/4(3a + b)h)/(1/4(3b + a)h)`
= `((3a + b))/((a + 3b))` या (3a + b) : (a + 3b)
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संबंधित प्रश्न
D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है, तो दर्शाइए की
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
[संकेत: D और B से AC पर लंब खींचिए।]
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
8 cm और 6 cm भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति है :
निम्नलिखित आकृति में, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है :
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। तब, ar (BDE) = `1/4` ar (ABC) है।
∆ABC, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है। यदि रेखाखंड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = `1/2` ar (∆ABC) है।
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
