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प्रश्न
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
विकल्प
a : b
(3a + b) : (a + 3b)
(a + 3b) : (3a + b)
(2a + b) : (3a + b)
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उत्तर
(3a + b) : (a + 3b)
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, AB = a cm, DC = b cm और AB || DC।
साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।
तो, CD, EF और AB, EF के बीच की दूरी समान होगी, मान लीजिए h।
BD को मिलाइए जो EF को M पर प्रतिच्छेद करती है।
अब, ΔABD में, AD और EM || AB का मध्य-बिंदु E है।
तो, M, BD का मध्य-बिंदु है।
और EM = `1/2` AB [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(i)
इसी प्रकार ΔCBD में, MF = `1/2`CD ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
EM + MF = `1/2` AB + `1/2` CD
⇒ EF = `1/2`(AB + CD) = `1/2`(a + b)
अब, समलंब ABFE का क्षेत्रफल
= `1/2` (समांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)
= `1/2(a + 1/2(a + b)) xx h`
= `1/4(3a + b)h`
अब, समलंब EFCD का क्षेत्रफल
= `1/2[b + 1/2(a + b)] xx h`
= `1/4(3b + a)h`
∴ आवश्यक अनुपात = `"ABFE का क्षेत्रफल"/"EFCD का क्षेत्रफल"`
= `(1/4(3a + b)h)/(1/4(3b + a)h)`
= `((3a + b))/((a + 3b))` या (3a + b) : (a + 3b)
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D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
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(i) ar (DOC) = ar (AOB)
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आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
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