Question

ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं

विकल्प

• a : b

• (3a + b) : (a + 3b)

• (a + 3b) : (3a + b)

• (2a + b) : (3a + b)

Answer 1

(3a + b) : (a + 3b)

स्पष्टीकरण - 

दिया गया है, AB = a cm, DC = b cm और AB || DC।

साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।

तो, CD, EF और AB, EF के बीच की दूरी समान होगी, मान लीजिए h।

BD को मिलाइए जो EF को M पर प्रतिच्छेद करती है।

अब, ΔABD में, AD और EM || AB का मध्य-बिंदु E है।

तो, M, BD का मध्य-बिंदु है।

और EM = `1/2` AB [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]  ...(i)

इसी प्रकार ΔCBD में, MF = `1/2`CD  ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।

EM + MF = `1/2` AB + `1/2` CD

⇒ EF = `1/2`(AB + CD) = `1/2`(a + b)

अब, समलंब ABFE का क्षेत्रफल

= `1/2` (समांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)

= `1/2(a + 1/2(a + b)) xx h`

 = `1/4(3a + b)h`

अब, समलंब EFCD का क्षेत्रफल

= `1/2[b + 1/2(a + b)] xx h` 

= `1/4(3b + a)h`

∴ आवश्यक अनुपात = `"ABFE का क्षेत्रफल"/"EFCD का क्षेत्रफल"`

= `(1/4(3a + b)h)/(1/4(3b + a)h)`

= `((3a + b))/((a + 3b))` या (3a + b) : (a + 3b)