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प्रश्न
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
विकल्प
a : b
(3a + b) : (a + 3b)
(a + 3b) : (3a + b)
(2a + b) : (3a + b)
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उत्तर
(3a + b) : (a + 3b)
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, AB = a cm, DC = b cm और AB || DC।
साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।
तो, CD, EF और AB, EF के बीच की दूरी समान होगी, मान लीजिए h।
BD को मिलाइए जो EF को M पर प्रतिच्छेद करती है।
अब, ΔABD में, AD और EM || AB का मध्य-बिंदु E है।
तो, M, BD का मध्य-बिंदु है।
और EM = `1/2` AB [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(i)
इसी प्रकार ΔCBD में, MF = `1/2`CD ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
EM + MF = `1/2` AB + `1/2` CD
⇒ EF = `1/2`(AB + CD) = `1/2`(a + b)
अब, समलंब ABFE का क्षेत्रफल
= `1/2` (समांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)
= `1/2(a + 1/2(a + b)) xx h`
= `1/4(3a + b)h`
अब, समलंब EFCD का क्षेत्रफल
= `1/2[b + 1/2(a + b)] xx h`
= `1/4(3b + a)h`
∴ आवश्यक अनुपात = `"ABFE का क्षेत्रफल"/"EFCD का क्षेत्रफल"`
= `(1/4(3a + b)h)/(1/4(3b + a)h)`
= `((3a + b))/((a + 3b))` या (3a + b) : (a + 3b)
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संबंधित प्रश्न
D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
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(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है | यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि:
ar(ABE) = ar(ACF)
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है |
[संकेत : CX को मिलाइए]
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
8 cm और 6 cm भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति है :
ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD ______।
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है
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यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
