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Question
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = b cm है (आकृति)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
Options
a : b
(3a + b) : (a + 3b)
(a + 3b) : (3a + b)
(2a + b) : (3a + b)
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Solution
(3a + b) : (a + 3b)
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, AB = a cm, DC = b cm और AB || DC।
साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।
तो, CD, EF और AB, EF के बीच की दूरी समान होगी, मान लीजिए h।
BD को मिलाइए जो EF को M पर प्रतिच्छेद करती है।
अब, ΔABD में, AD और EM || AB का मध्य-बिंदु E है।
तो, M, BD का मध्य-बिंदु है।
और EM = `1/2` AB [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(i)
इसी प्रकार ΔCBD में, MF = `1/2`CD ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
EM + MF = `1/2` AB + `1/2` CD
⇒ EF = `1/2`(AB + CD) = `1/2`(a + b)
अब, समलंब ABFE का क्षेत्रफल
= `1/2` (समांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी)
= `1/2(a + 1/2(a + b)) xx h`
= `1/4(3a + b)h`
अब, समलंब EFCD का क्षेत्रफल
= `1/2[b + 1/2(a + b)] xx h`
= `1/4(3b + a)h`
∴ आवश्यक अनुपात = `"ABFE का क्षेत्रफल"/"EFCD का क्षेत्रफल"`
= `(1/4(3a + b)h)/(1/4(3b + a)h)`
= `((3a + b))/((a + 3b))` या (3a + b) : (a + 3b)
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दी गई आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।
ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं | यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD) है
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है |
[संकेत : CX को मिलाइए]
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि "क्या बुधिया के खेत को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में बांटा गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी तरह, BC को n समान भागों में विभाजित करके और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिंदुओं को BC के विपरीत शीर्ष से जोड़कर, आप ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैं :
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु किसी भी एक शीर्ष को चौथा बिंदु लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर है
PQRS एक आयत है, जो त्रिज्या 13 cm वाले एक वृत्त के चतुर्थांश के अंतर्गत है। A भुजा PQ पर स्थित कोई बिंदु है। यदि PS = 5 cm है, तो ar (PAS) = 30 cm2 है।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए :
ar (ΔABD)
∆ABC, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है। यदि रेखाखंड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = `1/2` ar (∆ABC) है।
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।
[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
