Question

एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)

Answer 1

दिया गया है - समलंब ABCD में, AB || DC, DC Q में उत्पादित और L,  BC का मध्य-बिंदु है।

∴ BL = CL

सिद्ध करना है - ar (ABCD) = ar (APQD)

प्रमाण - चूँकि, DC का उत्पादन Q में होता है और AB || DC।

तो, DQ || AB

ΔCLQ और ΔBLP में,

CL = BL   ...[चूँकि L, BC का मध्य-बिंदु है।]

∠LCQ = ∠LBP   ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण क्योंकि BC एक तिर्यक रेखा है।]

∠CQL = ∠LPB  ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण, क्योंकि PQ एक तिर्यक रेखा है।]

∴ ΔCLQ ≅ ΔBLP   ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

तब, ar (ΔCLQ) = ar (ΔBLP)  [चूँकि, सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।]  ...(i)

अब, ar (ABCD) = ar (APQD) – ar (ΔCQL) + ar (ΔBLP)

= ar (APQD) – ar (ΔBLP) + ar (ΔBLP)  ...[समीकरण (i) से]

⇒ ar (ABCD) = ar (APQD)

अतः सिद्ध हुआ।