Question

यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति)।  

[संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]

Answer 1

दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और P, F, R और S क्रमशः भुजाओं BC, CD, AD और AB के मध्य-बिंदु हैं और PFRS एक समांतर चतुर्भुज है।

सिद्ध करना है - ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज ABCD)

रचना - BD और BR को मिलाइए।

उपपत्ति - माध्यिका BR, ΔBDA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

∴ ar (ΔBRA) = `1/2` ar (ΔBDA)  ...(i)

इसी प्रकार, माध्यिका RS, ΔBRA को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

∴ ar (ΔASR) = `1/2` ar (ΔBRA)  ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) से,

ar (ΔASR) = `1/4` ar (ΔBDA)  ...(iii)

इसी प्रकार, ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBCD)  ...(iv)

समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।

ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (ΔBDA)  ...[ar (ΔBDA) + ar (ΔBCD)]

⇒ ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA)  ...(v)

इसी प्रकार, ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/4` ar (चतुर्भुज BCDA) ...(vi)

समीकरण (v) और (vi) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।

ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA)   ...(vii)

लेकिन ar (ΔASR) + ar (ΔCFP) + ar (ΔDRF) + ar (ΔBSP) + ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = ar (चतुर्भुज BCDA)  ...(viii)

समीकरण (vii) को समीकरण (viii) से घटाने पर, हम पाते हैं।

ar (समांतर चतुर्भुज PFRS) = `1/2` ar (चतुर्भुज BCDA)

अतः सिद्ध हुआ।