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प्रश्न
O एक समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई बिंदु है (आकृति)। सिद्ध कीजिए कि ar (PSO) = ar (PQO) है।
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उत्तर
दिया गया है - एक समांतर चतुर्भुज PQRS में, O विकर्ण PR पर कोई बिंदु है।
सिद्ध करना है - ar (ΔPSO) = ar (ΔPQO)
रचना - SQ को मिलाइए जो PR को B पर प्रतिच्छेद करती है।
उपपत्ति - हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए B, SQ का मध्य-बिंदु है।
यहाँ, PB, ΔQPS की एक माध्यिका है और हम जानते हैं कि, एक त्रिभुज की एक माध्यिका इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∴ ar (ΔBPQ) = ar (ΔBPS) ...(i)
साथ ही, OB, ∆OSQ की माध्यिका है।
∴ ar (ΔOBQ) = ar (ΔOBS) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔBPQ) + ar (ΔOBQ) = ar (ΔBPS) + ar (ΔOBS)
⇒ ar (ΔPQO) = ar (ΔPSO)
अतः सिद्ध हुआ।
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