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Question
सिद्ध कीजिए कि `sqrt3` + `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।
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Solution
मान लीजिए कि `sqrt (3) + sqrt (5)` तर्कसंगत है।
चलो `sqrt (3) + sqrt (5)` = a, जहाँ a तर्कसंगत है।
इसलिए, `sqrt (3) = a - sqrt (5)`
दोनों पक्षों को चकमा देने पर, हम प्राप्त करते हैं।
`(sqrt(3))^2 = (a - sqrt(5))^2`
`\implies` 3 = `a^2 + 5 - 2a sqrt(5)` ......[∵ (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab]
`\implies` `2a sqrt(5) = a^2 + 2`
इसलिए, `sqrt (5) = (a^2 + 2)/(2a)`, जो एक विरोधाभास है क्योंकि दाहिने हाथ की ओर तर्कसंगत संख्या है जबकि `sqrt (5)` तर्कहीन है।
अतः `sqrt (3) + sqrt (5)` अपरिमेय है।
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