Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^(pi/2) (tan x "d"x)/(1 + "m"^2 tan^2 x`
Advertisements
Solution
मान लीजिए I = `int_0^(pi/2) (tan x)/(1 + "m"^2 tan^2x) "d"x`
= `int_0^(pi/2) (sinx/cosx)/(1 + "m"^2 (sin^2x)/(cos^2x)) "d"x`
= `int_0^(pi/2) (sinx/cosx)/((cos^2x + "m"^2 sin^2x)/cos^2x) "d"x`
= `int_0^(pi/2) (sin x cos x)/(cos^2x + "m"^2 sin^2x) "d"x`
= `int_0^(pi/2) (sinx cosx)/(1 - sin^2x + "m"^2 sin^2x) "d"x`
= `int_0^(pi/2) (sinx cosx)/(1 - sin^2x (1 - "m"^2)) "d"x`
sin2x = t रखो
2 sin x cos x dx = dt
sin x cos x dx = `"dt"//2`
हमें मिलने वाली सीमा को बदलना,
जब x = 0
∴ t = sin20 = 0
जब x = `pi/2`
∴ t = `sin^2 pi/2` = 1
∴ I = `1/2 int_0^1 "dt"/(1 - (1 - "m"^2)"t")`
I = `1/2 int_0^1 "dt"/(1 + ("m"^2 - 1)"t")`
= `1/2 [(log [1 + "m"^2 - 1)"t")/("m"^2 - 1)]_0^1`
= `1/(2("m"^2 - 1)) [log(1 + "m"^2 - 1) - log(1)]`
= `(log|"m"^2|)/(2("m"^2 - 1))`
अत:, I = `(log|"m"^2|)/(2("m"^2 - 1)) = (log|"m"|)/("m"^2 - 1)`.
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
x के सापेक्ष `((2"a")/sqrt(x) - "b"/x^2 + 3"c"root(3)(x^2))` को समाकलित कीजिए।
समाकलन की एक प्रतिअवकलज के रूप में अवधारणा का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (x^3"d"x)/(x + 1) = x - x^2/2 + x^3/3 - log|x + 1| + "C"`
`int sqrt((1 + x)/(1 - x)) "d"x`, का मान निकालिए।
`int ("d"x)/(2sin^2x + 5 cos^2 x)` ज्ञात कीजिए।
योग की सीमा के रूप में, `int_-1^2 (7x - 5)"d"x` का मान निकालिए।
`int_2^8 sqrt(10 - x)/(sqrt(x) + sqrt(10 - x)) "d"x` ज्ञात कीजिए।
`int x^2tan^-1 x"d"x` ज्ञात कीजिए।
`int sqrt(10 - 4x + 4x^2) "d"x` ज्ञात कीजिए।
`int ("d"x)/(sin^2 x cos^2 x)` बराबर है
`int_(-1)^1 (x^3 + |x| + 1)/(x^2 + 2|x| + 1) "d"x` बराबर है
`int_(-2)^2 |x cos pix| "d"x` बराबर है
`int_0^(pi/2) (sin^"n" x"d"x)/(sin^"n" x + cos^"n" x)` = ______.
निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (2x + 3)/(x^2 + 3x) "d"x = log|x^2 + 3x| + "C"`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int sqrt(("a" + x)/("a" - x)) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int sqrt(1 + x^2)/x^4 "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x/(x^4 - 1) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x^2/(1 - x^4) "d"x` [x2 = t रखिए]
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ("d"x)/(xsqrt(x^4 - 1))` (संकेत: x2 = sec `theta` रखिए)
निम्नलिखित का योग की सीमा के रूप में मान निकालिए-
`int_0^2 "e"^x "d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^1 ("d"x)/("e"^x + "e"^-x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_1^2 ("d"x)/sqrt((x -1) (2 -x))`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int sin^-1 sqrt(x/("a" + x)) "d"x` (संकेत: x = a tan2θ रखिए)
`("d"x)/(sin (x - "a") sin (x - "b"))` बराबर है
`int_0^(pi/2) sqrt(1 - sin2x) "d"x` बराबर है
`int_-pi^pi sin^3x cos^2x "d"x` का मान ______.
