Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int (x^2 "d"x)/((x^2 + "a"^2)(x^2 + "b"^2)) `
Advertisements
Solution
मान लीजिए I = `int (x^2)/((x^2 + "a"^2)(x^2 + "b"^2)) "d"x`
आंशिक भिन्न के प्रयोजन के लिए x2 = t रखें।
हमें `"t"/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2))` मिलता है
`"t"/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2)) = "A"/("T" + "a"^2) + "B"/("t" + "b"^2)` रखो
⇒ `"t"/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2)) = ("A"("t" + "b"^2) + "B"("t" + "a"^2))/(("t" + "a"^2)("t" + "b"^2))`
⇒ t = At + Ab2 + Bt + Ba2
समान पदों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है
A + B = 1 और Ab2 + Ba2 = 0
A + B = 1 और Ab2 + Ba2 = 0
A = `(-"a"^2)/"b"^2 "B"`
∴ `(-"a"^2)/"b"^2 "B" + "B"` = 1
`"B"((-"a"^2)/"b"^2 + 1)` = 1
⇒ `"B"((-"a"^2 + "b"^2)/"b"^2)` = 1
⇒ B = `"b"^2/("b"^2 - "a"^2)` और A = `(-"a"^2)/"b"^2 xx "b"^2/("b"^2 - "a"^2) = "a"^2/("a"^2 - "b"^2)`
तो A = `"a"^2/("a"^2 - "b"^2)` और B = `(-"b"^2)/("a"^2 - "b"^2)`
∴ `int x^2/((x^2 + "a"^2)(x^2 + "b"^2)) "d"x = "a"^2/("a"^2 - "b"^2) int 1/(x^2 + "a"^2) "d"x - "b"^2/("a"^2 - "b"^2) int 1/(x^2 + "b"^2) "d"x`
= `"a"^2/("a"^2 - "b"^2) xx 1/"a" tan^-1 x/"a" - "b"^2/("a"^2 - "b"^2) * 1/"b" tan^-1 x/"b"`
= `"a"/("a"^2 - "b"^2) tan^-1 x/"a" - "b"/("a"^2 - "b"^2) tan^-1 x-"b" + "C"`
अत:, I = `1/("a"^2 - "b"^2) ["a" tan^-1 x/"a" - "b" tan^-1 x/"b"] + "C"`.
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
x के सापेक्ष `((2"a")/sqrt(x) - "b"/x^2 + 3"c"root(3)(x^2))` को समाकलित कीजिए।
`int "dx"/sqrt((x - alpha)(beta - x)), beta > alpha` का मान निकालिए।
`int ("d"x)/(2sin^2x + 5 cos^2 x)` ज्ञात कीजिए।
योग की सीमा के रूप में, `int_-1^2 (7x - 5)"d"x` का मान निकालिए।
`int x^2tan^-1 x"d"x` ज्ञात कीजिए।
`int "e"^x (cosx - sinx)"d"x` बराबर है
`int_(a+c)^(b+c) "f" (x) "d"x` बराबर है
`int_(-2)^2 |x cos pix| "d"x` बराबर है
`int_(-"a")^"a" "f"(x) "d"x` = 0 है, यदि f एक ______ फलन है।
`int_0^(pi/2) (sin^"n" x"d"x)/(sin^"n" x + cos^"n" x)` = ______.
निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (2x + 3)/(x^2 + 3x) "d"x = log|x^2 + 3x| + "C"`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ((x^2 + 2))/(x + 1) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int sqrt(1 + sinx)"d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int "dt"/sqrt(3"t" - 2"t"^2)`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (3x - 1)/sqrt(x^2 + 9) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int sqrt(x)/sqrt("a"^3 - x^3)"d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (cos x - cos 2x)/ (1 - cos x)"d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^1 (x"d"x)/sqrt(1 + x^2`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int (x^2"d"x)/(x^4 - x^2 - 12)`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^1 x log(1 + 2x) "d"x`
`int tan^-1 sqrtx "d"x` बराबर है
`int "e"^x ((1 - x)/(1 + x^2))^2 "d"x` बराबर है
`int_((-pi)/4)^(pi/4) ("d"x)/(1 + cos2x)` बराबर है
`int_0^(pi/2) cos x "e"^(sinx) "d"x` के = ______
`int (x + 3)/(x + 4)^2 "e"^x "d"x` = ______.
