Question

ज्या अंकगणिती श्रेढीत पहिले पद p आहे, दुसरे पद q आहे आणि शेवटचे पद r आहे तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `(q + r - 2p) xx (p + r)/(2(q - p))` एवढी आहे हे दाखवा.

Answer 1

पहिले पद (t₁) = a = p, दुसरे पद (t₂) = q, शेवटचे पद t_n = r

(d) = t₂ – t₁ = q – p

t_n = a + (n – 1) × d

r = p + (n – 1) × (q – p)

(r – p) = (n – 1) × (q – p)

n – 1 = `(r - p)/(q - p)`

n = `(r - p)/(q - p) + 1`

n = `(r - p + q - p)/(q- p)`

n = `(r + q - 2p)/(q - p)`

S_n = `n/2[2a + (n - 1)d]`

= `(r + q - 2p)/(2(q - p)) [2p + ((r + q - 2p)/(q - p) - 1) (q - p)]`

= `(r + q - 2p)/(2(q - p)) [2p + ((r + q - 2p - (q - p))/(q - p)) (q - p)]`

= `(r + q - 2p)/(2(q - p)) [((r + q - 2p - q + p)/(q - p)) (q - p)]`

= `(r + q - 2p)/(2(q - p))[2p + ((r - p)/(q - p)) (q - p)]`

= `(r + q - 2p)/(2(q - p))[2p + r - p]`

= `(r + q - 2p)/(2(q - p))[r + p]`

S_n = `(q +r - 2p) xx ((p + r))/(2(q - p))`