Advertisements
Advertisements
प्रश्न
ज्या अंकगणिती श्रेढीत पहिले पद p आहे, दुसरे पद q आहे आणि शेवटचे पद r आहे तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `(q + r - 2p) xx (p + r)/(2(q - p))` एवढी आहे हे दाखवा.
Advertisements
उत्तर
पहिले पद (t1) = a = p, दुसरे पद (t2) = q, शेवटचे पद tn = r
(d) = t2 – t1 = q – p
tn = a + (n – 1) × d
r = p + (n – 1) × (q – p)
(r – p) = (n – 1) × (q – p)
n – 1 = `(r - p)/(q - p)`
n = `(r - p)/(q - p) + 1`
n = `(r - p + q - p)/(q- p)`
n = `(r + q - 2p)/(q - p)`
Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`
= `(r + q - 2p)/(2(q - p)) [2p + ((r + q - 2p)/(q - p) - 1) (q - p)]`
= `(r + q - 2p)/(2(q - p)) [2p + ((r + q - 2p - (q - p))/(q - p)) (q - p)]`
= `(r + q - 2p)/(2(q - p)) [((r + q - 2p - q + p)/(q - p)) (q - p)]`
= `(r + q - 2p)/(2(q - p))[2p + ((r - p)/(q - p)) (q - p)]`
= `(r + q - 2p)/(2(q - p))[2p + r - p]`
= `(r + q - 2p)/(2(q - p))[r + p]`
Sn = `(q +r - 2p) xx ((p + r))/(2(q - p))`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
पहिल्या 123 सम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या 55 पदांची बेरीज 3300 आहे, तर तिचे 28 वे पद काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीतील तीन क्रमागत पदांची बेरीज 27 व त्यांचा गुणाकार 504 आहे, तर ती पदे शोधा.
(तीन क्रमागत पदे a - d, a, a + d माना.)
जर अंकगणिती श्रेढीतील पहिल्या p पदांची बेरीज ही पहिल्या q पदांच्या बेरजेबरोबर असेल, तर त्यांच्या पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य असते हे दाखवा. (p ≠ q).
ज्या अंकगणिती श्रेढीचे पहिले पद a आहे. दुसरे पद b आहे आणि शेवटचे पद c आहे, तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `((a + c)(b + c - 2a))/(2(b - a))` एवढी आहे हे दाखवा.
पहिल्या 1000 धन पूर्णांकांची बेरीज करा.
कृती: समजा, 1 + 2 + 3 + .........+ 1000
अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या n पदांच्या बेरजेचे सूत्र Sn = `square` वापरून,
S1000 = `square/2` (1 + 1000)
= 500 × 1001
= `square`
प्रथम 1000 धन पूर्णांकांची बेरीज `square` एवढी आहे.
12, 14, 16, 18, 20, ......... या अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या 100 पदांची बेरीज करा.
कृती: येथे, a = 12, d = `square` n = 100, S100 = ?
Sn = `"n"/2[square + ("n" - 1)"d"]`
S100 = `square/2`[24 + (100 – 1)d]
= 50 (24 + `square`)
= `square`
= `square`
1 ते 140 यांदरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
कृती: 1 ते 140 यांदरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसर्गिक संख्या 4, 8, 12, 16......... 136 या आहेत.
येथे, d = 4 आहे. म्हणून, दिलेली क्रमिका ही अंकगणिती श्रेढी आहे.
a = 4, d = 4, tn = 136, Sn = ?
tn = a + (n – 1) d
`square` = 4 + (n – 1) × 4
`square` = (n –1) × 4
n = `square`
आता, Sn = `"n"/2` + [a + tn]
Sn = 17 × `square`
Sn = `square`
म्हणून, 1 ते 140 यांदरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज `square` आहे.
1 + 3 + 5 + ......... + 101 या 1 ते 101 पर्यंत विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
मनीष आणि सविता यांच्या आजच्या वयांची बेरीज 31 वर्षे आहे. 3 वर्षांपूर्वी मनीषचे वय सविताच्या त्यावेळच्या वयाच्या चौपट होते, तर त्या दोघांची आजची वये काढा.
