Question

if f (x) = `sqrt (x +3) and  g (x) = x ^2 + 1` be two real functions, then find fog and gof.

Answer 1

f(x)= `sqrt (x + 3)`

For domain, x + 3≥0

⇒ x≥ −3

Domain of f =[-3, ∞)

Since f is a square root function, range of f =[0, ∞)

f : [−3, ∞) → [0, ∞)

g (x)= x2+1 is a polynomial.

⇒ g : R → R

Computation of fog:

Range of g  is not a subset of the domain of f.and domain (fog)={ x: x ∈ domain of g and g (x) ∈ domain of f (x) }

⇒ Domain (fog) = { x : x ∈ R and  x2+1∈ [−3, ∞)}

⇒ Domain (fog)={ x : x ∈ R and  x2+1 ≥−3 }

⇒ Domain (fog)={x : x ∈ R and  x2+4 ≥ 0}

⇒ Domain (fog) = {x : x ∈ R and x ∈ R}

⇒ Domain (fog) = R

fog : R → R

(fog) (x) = f(g (x))

= f (x2+1)

= `sqrt(x^2 +1 +3)`

= ` sqrt (x^2 +4)`

Computation of gof :

Range of f  is a subset of the domain of g.

gof : [−3, ∞) → R

⇒ (gof) (x) = g (f (x))

=g ` sqrt (x +3)^2  +1`

= x + 3 + 1

= x + 4