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Question
`[0, pi/2]` में फलन f(x) = sin 2x के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
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Solution
`[0, pi/2]` में फलन f(x) = sin 2x पर विचार कीजिए। ध्यान दीजिए कि:
Note that:
(i) `[0, pi/2]`, में फलन f संतत है, क्योंकि f एक साइन (sine) फलन है, जो सदैव संतत होता है।
(ii) `(0, pi/2)` में f′(x) = 2cos 2x का अस्तित्व है। अतः,`(0, pi/2)` में f अवकलनीय है।
(iii) f(0) = sin0 = 0 है तथा `"f"(pi/2)` = sinπ = 0 है।
इससे f(0) = `"f"(pi/2)` है।
यहाँ रोले के प्रमेय के प्रतिबंध संतुष्ट हो जाते हैं। अतः, कम से कम एक ऐसे बिन्दु c ∈ `(0, pi/2)` का अस्तित्व है ताकि f′(c) = 0 है।
इस प्रकार, 2 cos 2c = 0
⇒ 2c = `pi/2`
⇒ c = `pi/4`
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