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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(cos^(-1) x/2)/sqrt(2x+7)`, −2 < x < 2
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उत्तर
मान लीजिए, y = `(cos^-1 x/2)/(sqrt(2x + 7)) = u/v`
∴ u = `cos^-1 x/2`, v = `sqrt(2x + 7)`
अब u = `cos^-1 x/2`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(du)/dx = d/dx cos^-1 x/2`
= `-1/(sqrt(1 - x^2/4)) d/dx (x/2)`
= `-2/(sqrt(4 - x^2)) * 1/2`
= `(-1)/sqrt(4 - x^2)` ...(1)
तथा v = `sqrt(2x + 7)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dv)/dx = 1/2 (2x - 7)^(1/2 - 1) d/dx (2x - 7)`
= `1/2 (2x - 7)^(- 1//2) (2)`
= `1/(sqrt(2x + 7))` ...(2)
y = `u/v`
∴ `dy/dx = (v (du)/dx - u (dv)/dx)/v^2` ....[(1) और (2) के मान प्रतिस्थापित करने पर]
= `(- 1/(sqrt(4 - x^2)) xx sqrt(2x + 7) - (cos^-1 x/2)/sqrt(2x + 7))/((2x + 7))`
= `- [1/(sqrt(4 - x^2) sqrt(2x + 7)) + (cos^-1 x/2)/(2x + 7)^(3//2)]`
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दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
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यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
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cos x के सापेक्ष sin x का अवकलज ______ है।
एक संतत फलन में कुछ ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ सीमाओं का अस्तित्व न हों।
x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
x = `"e"^theta (theta + 1/theta)`, y= `"e"^-theta (theta - 1/theta)`
sec(x + y) = xy
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
वक्र y = (x – 3)2 पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा (3, 0) और (4, 1) बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर हो।
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यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
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बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
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