SCERT Maharashtra solutions for भूमितीय रचनाएँ (गणित १) [मराठी] कक्षा १० महाराष्ट्र राज्य बोर्ड chapter 5 - निर्देशक भूमिती [Latest edition]

बिंदू A(–4, 2) आणि बिंदू B(6, 2) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंड AB चा मध्यबिंदू P असेल, तर बिंदू P चे निर्देशक शोधा.

बिंदू P(2, 2) आणि Q(5, x) या दोन बिंदूंमधील अंतर 5 सेमी असेल, तर X ची किंमत – ______ 

बिंदू P(–1, 1) आणि बिंदू Q(5, –7) आहेत. तर बिंदू P आणि Q मधील अंतर ______ 

जर बिंदू L(x, 7) आणि बिंदू M(1, 15) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंड LM ची लांबी 10 सेमी असेल, तर बिंदू x ची किंमत शोधा.

बिंदू A(–3, 4) आणि आरंभबिंदू O यांमधील अंतर काढा.

जर बिंदू P(1, 1) हा बिंदू A आणि B(–1, –1) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडास 5:2 या गुणोत्तरात छेदत असेल,तर A या बिंदूचे निर्देशक काढा.

जर रेख AB हा Y–अक्षाला समांतर असेल आणि A या बिंदूचे निर्देशक (1, 3) असतील, तर B बिंदूचे निर्देशक ______ 

जर A(–4, 2) आणि B(6, 2) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू P असेल, तर P चे निर्देशक ______ 

जर A(–5, 3) आणि B(3, –5) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला बिंदू P हा 1:3 या गुणोत्तरात विभागत असेल, तर P चे निर्देशक ______ 

जर एका त्रिकोणात शिरोबिंदूंच्या X–निर्देशकांची बेरीज 12 व Y–निर्देशकांची बेरीज 9 आहे, तर मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक ______ आहेत. 

x = 2 आणि y = -3 या समीकरणांच्या आलेखांच्या छेदनबिंदूचे निर्देशक लिहा.

A(7, 5) आणि B(2, 5) तर या दोन बिंदूंमधील अंतर किती?

एका वर्तुळाचा व्यास AB आहे आणि A(2, 7) आणि B(4, 5) असेल, तर वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूचे निर्देशक लिहा.

बिंदू P(–5, 4) या बिंदूचे X–निर्देशक व Y–निर्देशक लिहा. 

आरंभबिंदूचे निर्देशक लिहा.

(6, 8) या बिंदूचे आरंभबिंदूपासूनचे अंतर किती?

(–2, 6) व (8, 2) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाच्या मध्यबिंदूचे निर्देशक काढा.

(4, 7), (8, 4) व (7, 11) हे शिरोबिंदू असलेल्या त्रिकोणाच्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक काढा.

A(0, 0), B(–5, 12) या दोन बिंदूंमधील अंतर किती? 

(0, 2) आणि (12, 14) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाच्या मध्यबिंदूचे निर्देशक काढा. 

बिंदू Q(3, –7) आणि बिंदू R(3, 3) आहेत, तर बिंदू Q आणि R मधील अंतर किती?

उकल: 

समजा, Q(x₁, y₁) आणि बिंदू R(x₂, y₂)

x₁ = 3, y₁ = –7 आणि x₂ = 3, y₂ = 3

अंतराच्या सूत्रानुसार,

d(Q, R) = `sqrtsquare`

∴ d(Q, R) = `sqrt(square - 100)`

d(Q, R) = `sqrtsquare`

∴ d(Q, R) = `sqrtsquare` 

बिंदू A(–1, 1) आणि बिंदू B(5, –7) आहेत, तर या दोन बिंदूंमधील अंतर काढा.

उकल:

समजा, A(x₁, y₁) आणि B(x₂, y₂) 

x₁ = –1, y₁ = 1 आणि x₂ = 5, y₂ = – 7

अंतराच्या सूत्रानुसार,

d(A, B) = `sqrt((x_2 - x_1)^2 +  (y_2 - y_1)^2)`

d(A, B) = `sqrt(square + [(-7) + square]^2)`

∴ d(A, B) = `sqrtsquare`

∴ d(A, B) = `square`

बिंदू A(–1, 1) आणि बिंदू B(5, –7) आहेत. तर या दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंड AB च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक लिहा.

उकल:

समजा, A(x₁, y₁) आणि B(x₂, y₂)

x₁ = –1, y₁ = 1 आणि x₂ = 5, y₂ = –7 

मध्यबिंदूच्या सूत्रानुसार,

∴ रेषाखंड AB च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = `((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)`

∴ रेषाखंड AB च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = `(square/2, square/2)`

∴ रेषाखंड AB च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = `(4/2, square/2)`

∴ रेषाखंड AB च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = `(2, square)`

त्रिकोण ABC चे शिरोबिंदू A(–7, 6), B(2, –2) आणि C(8, 5) आहेत. तर त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक लिहा. 

उकल:

समजा, A(x₁, y₁) आणि B(x₂, y₂) आणि C(x₃, y₃)

x₁ = –7, y₁ = 6 आणि x₂ = 2, y₂ = –2 आणि x₃ = 8, y₃ = 5 

मध्यगासंपातबिंदूच्या सूत्रानुसार, 

∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`

∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = `(square/3, square/3)`

∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = `(3/3, square)`

∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = `(1, square)`

बिंदू A(3, 5) आणि B(7, 9) असून बिंदू Q हा रेख AB चे 2:3 या गुणोत्तरात विभाजन करत असेल तर Q या बिंदूचे x निर्देशक काढा.

जर बिंदू L(x, 7) आणि M(1, 15) या दोन बिंदूंमधील अंतर 10 असेल, तर x ची किंमत काढा.

(22, 20) आणि (0, 16) यांना जोडणाऱ्या मध्यबिंदूचे निर्देशक काढा.

C(–3a, a), D(a, –2a) या दोन बिंदूंमधील अंतर काढा.

दाखवा की, बिंदू (11, –2) हा (4, –3) आणि (6, 3) या बिंदूंपासून समदूर आहे.

A(8, 9) आणि B(1, 2) यांना जोडणाऱ्या रेख AB ला बिंदू P(6, 7) ज्या गुणोत्तरात विभागतो ते गुणोत्तर शोधा.

कृती: बिंदू P हा रेख AB ला m : n या गुणोत्तरात विभागतो.

A(8, 9) = (x₁, y₁), B(1, 2) = (x₂, y₂) P(6, 7) = (x, y)

विभाजन सूत्रानुसार, 

∴ 7 = `(m(square) - n(9))/(m + n)`

∴ 7m + 7n = `square` + 9n

∴ 7m - `square` = 9n - `square`

∴ `square` = 2n

∴ `m/n  = square` 

सोबतच्या आकृतीत, दिलेल्या माहितीवरून त्रिकोणाच्या मध्यगेची लांबी काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती: A(–1, 1), B(5, –3), C(3, 5) समजा, D(x, y)

मध्यबिंदू सूत्रानुसार,

x = `(5 + 3)/2` ∴ x = `square`

y = `(-3 + 5)/2` ∴ y = `square`

अंतराच्या सूत्रानुसार,

∴ AD = `sqrt((4 - square)^2 + (1 - 1)^2)`

∴ AD = `sqrt((square)^2 + (0)^2)`

∴ AD = `sqrtsquare`

∴ AD = `square`

P(-2, 2), Q(2, 2) आणि R(2, 7) हे काटकोन त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत, हे पडताळून पाहा.

(0, 9) हा बिंदू (–4, 1) व (4, 1) या बिंदूंपासून समदूर आहे हे दाखवा. 

बिंदू P(–4, 6) हा A(–6, 10) आणि B(m, n) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला 2:1 या गुणोत्तरात विभागतो, तर बिंदू B चे निर्देशक काढा.

A(–4, –7), B(–1, 2), C(8, 5) आणि D(5, –4) हे चौकोनाचे शिरोबिंदू असतील, तर चौकोन ABCD हा समभुज चौकोन आहे हे दाखवा.

(0, –1), (8, 3), (6, 7) व (–2, 3) हे बिंदू आयताचे शिरोबिंदू आहेत हे दाखवा.

(2, 0), (–2, 0) आणि (0, 2) हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत हे दाखवा. तसेच त्या त्रिकोणाचा प्रकार सकारण ठरवा.

A(5, 4), B(–3, –2) आणि C(1, –8) हे ∆ABC चे शिरोबिंदू असून रेख AD मध्यगा असेल, तर रेख AD ची लांबी किती?

A(1, 2), B(1, 6), C(1 + `2sqrt3` , 4) हे समभुज त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत हे दाखवा.

O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची OA ही त्रिज्या आहे. जर A चे निर्देशक (0, 2) असतील तर बिंदू (1, 2) हा वर्तुळावर आहे किंवा नाही पडताळा घ्या.

A(3, 5) आणि B(–6, 7) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला Y–अक्ष कोणत्या गुणोत्तरात विभागतो? तसेच त्या बिंदूचे निर्देशक काढा.

(7, –6), (2, k) आणि (h, 18) हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत. जर (1, 5) हा बिंदू मध्यगासंपातबिंदू असेल, तर h आणि k च्या किमती काढा.

अंतराच्या सूत्राने, बिंदू (4, 3) (5, 1) आणि (1, 9) एकरेषीय आहेत किंवा नाहीत ते ठरवा.