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प्रश्न
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए:
-1 + i
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उत्तर
मान लीजिए z = -1 + i = r(cos θ + isin θ)
⇒ r cosθ = – 1 और r sin θ = 1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
r2cos2θ + r2 sin2θ = 1
या (cos2 θ + sin2θ) = 1
r2 = 2 या r = `sqrt2`
यहाँ cos θ ऋणात्मक तथा sin θ धनात्मक है
⇒ θ दूसरे चतुर्थांश में है।
`(rsinθ)/(rcosθ) = tanθ = - 1`
= `tan (pi - pi/4) = tan (3pi)/4`
अतः z का ध्रुवीय रूप = `sqrt2 (cos (3pi)/4 + isin (3pi)/4)`
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित व्यंजक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए:
`((3 + isqrt5)(3 - isqrt5))/((sqrt3 + sqrt2i)-(sqrt3 - isqrt2))`
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1 और z2 के लिए, सिद्ध कीजिए:
Re(z1z2) = Rez1 Rez2 – Imz1 Imz2
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:
`(1+7i)/(2-i)^2`
यदि α और β भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ |β| = 1, तब `|(beta - alpha)/(1-baralphabeta)|` का मान ज्ञात कीजिए।
समीकरण `|1-i|^x = 2^x` के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
`(-sqrt-1)^{4n - 3}` का मान ______ है, जहाँ n ∈ N
यदि (2 + i) (2 + 2i) (2 + 3i) ... (2 + ni) = x + iy तो 5.8.13 ... (4 + n2) = ______
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
सम्मिश्र संख्या z, जिसके लिए |z + 1| < |z - 1| है, को निरूपित करने वाले बिंदु एक वृत्त के अभ्यंतर में स्थित होते हैं।
1 + i2 + i4 + i6 + ... + i2n है:
सम्मिश्र संख्याओं z, –iz और z + iz द्वारा सम्मिश्र तल में बनाये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
समीकरण |z + 1 - i| = |z - 1 + i| निरूपित करता है एक
समीकरण z2 + |z|2 = 0, z ≠ 0 के हलों की संख्या है
एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, `(1−i)^n(1−1/i)^n` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `(barz + 2)/(barz - 1)` का वास्तविक भाग 4 है, तो दशाइए कि z को निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ सम्मिश्र तल में एक वृत्त है।
समीकरण |z| = z + 1 + 2i को हल कीजिए।
यदि |z + 1| = z + 2(1 + i) है, तो z ज्ञात कीजिए।
यदि |z1| = 1(z1 ≠ –1) और z2 = `(z_1 - 1)/(z_1 + 1)`, तो दर्शाइए कि z2 का वास्तविक भाग शून्य है।
यदि |z1| = |z2| = ... = |zn| = 1, तो दर्शाइए कि |z1 + z2 + z3 + ... + zn| = `|1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3 + ... + 1/z_n|`
संख्या `(1 - i)^3/(1 - i^3)` ______ के बराबर है।
यदि z1 और z2 ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि z1 + z2 एक वास्तविक संख्या है, तो z2 = ______
यदि `|(z - 2)/(z + 2)| = pi/6` है, तो z का बिंदु पथ ______ है।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
|z – 1| = |z – i| को निरूपित करने वाला बिंदु पथ (1, 0) और (0, 1) को मिलाने वाली रेखा पर एक लंब रेखा है।
यदि |z1| = |z2| तब क्या z1 = z2 होना आवश्यक है?
यदि `((1 + i)/(1 - i))^x` = 1, तो
x का एक वास्तविक मान समीकरण `((3 - 4ix)/(3 + 4ix))` = α − iβ(α, β ∈ R) को संतुष्ट करता है, यदि α2 + β2 = ______
यदि a + ib = c + id, तो
यदि f(z) = `(7 - z)/(1 - z^2)` जहाँ z = 1 + 2i, तो |f(z)| है
