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प्रश्न
100 और 200 के बीच के उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए, जो
- 9 से विभाज्य हैं।
- 9 से विभाज्य नहीं हैं।
[संकेत (ii) : ये संख्याएँ होंगी : कुल संख्याएँ – 9 से विभाज्य संख्याएँ]
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उत्तर
i. 100 और 200 के बीच की संख्याएँ (पूर्णांक) जो 9 से विभाज्य हैं, 108, 117, 126,..., 198 हैं।
मान लीजिए n 100 और 200 के बीच पदों की संख्या है जो 9 से विभाज्य है।
यहाँ, a = 108, d = 117 – 108 = 9 और an = l = 198
⇒ 198 = 108 + (n – 1)9 ...[∵ an = l = a + (n – 1)d]
⇒ 90 = (n – 1)9
⇒ n – 1 = 10
⇒ n = 11
∴ 100 और 200 के बीच के पदों का योग जो 9 से विभाज्य है।
Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`
⇒ S11 = `11/2[2(108) + (11 - 1)9]`
= `1/2[216 + 90]`
= `11/2 xx 306`
= 11 × 153
= 1683
अतः, 100 और 200 के बीच 9 से विभाज्य पूर्णांकों का आवश्यक योग 1683 है।
ii. 100 और 200 के बीच के पूर्णांकों का योग जो 9 से विभाज्य नहीं है = (100 और 200 के बीच की कुल संख्याओं का योग) – (100 और 200 के बीच की कुल संख्याओं का योग जो 9 से विभाज्य है) ...(i)
100 और 200 के बीच कुल संख्या 101, 102, 103,..., 199 है।
यहाँ, a = 101, d = 102 – 101 = 1 और an = l = 199
⇒ 199 = 101 + (n – 1)1 ...[∵ an = l = a + (n – 1)d]
⇒ (n – 1) = 98
⇒ n = 99
100 और 200 के बीच पदों का योग,
Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`
⇒ S99 = `99/2[2(101) + (99 - 1)1]`
= `99/2[202 + 98]`
= `99/2 xx 300`
= 99 × 150
= 14850
समीकरण (i) से, 100 और 200 के बीच पूर्णांकों का योग जो 9 से विभाज्य नहीं है।
= 14850 – 1683 ...[भाग (i) से]
= 13167
अतः, अभीष्ट योग 13167 है।
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