Question

100 और 200 के बीच के उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए, जो

1. 9 से विभाज्य हैं।
2. 9 से विभाज्य नहीं हैं।

[संकेत (ii) : ये संख्याएँ होंगी : कुल संख्याएँ – 9 से विभाज्य संख्याएँ]

Answer 1

i. 100 और 200 के बीच की संख्याएँ (पूर्णांक) जो 9 से विभाज्य हैं, 108, 117, 126,..., 198 हैं।

मान लीजिए n 100 और 200 के बीच पदों की संख्या है जो 9 से विभाज्य है।

यहाँ, a = 108, d = 117 – 108 = 9 और a_n = l = 198

⇒ 198 = 108 + (n – 1)9   ...[∵ a_n = l = a + (n – 1)d]

⇒ 90 = (n – 1)9

⇒ n – 1 = 10

⇒ n = 11

∴ 100 और 200 के बीच के पदों का योग जो 9 से विभाज्य है।

S_n = `n/2[2a + (n - 1)d]`

⇒ S₁₁ = `11/2[2(108) + (11 - 1)9]`

= `1/2[216 + 90]`

= `11/2 xx 306`

= 11 × 153

= 1683

अतः, 100 और 200 के बीच 9 से विभाज्य पूर्णांकों का आवश्यक योग 1683 है।

ii. 100 और 200 के बीच के पूर्णांकों का योग जो 9 से विभाज्य नहीं है = (100 और 200 के बीच की कुल संख्याओं का योग) – (100 और 200 के बीच की कुल संख्याओं का योग जो 9 से विभाज्य है)  ...(i)

100 और 200 के बीच कुल संख्या 101, 102, 103,..., 199 है।

यहाँ, a = 101, d = 102 – 101 = 1 और a_n = l = 199

⇒ 199 = 101 + (n – 1)1    ...[∵ a_n = l = a + (n – 1)d]

⇒ (n – 1) = 98

⇒ n = 99

100 और 200 के बीच पदों का योग,

S_n = `n/2[2a + (n - 1)d]`

⇒ S₉₉ = `99/2[2(101) + (99 - 1)1]`

= `99/2[202 + 98]`

= `99/2 xx 300`

= 99 × 150

= 14850

समीकरण (i) से, 100 और 200 के बीच पूर्णांकों का योग जो 9 से विभाज्य नहीं है।

= 14850 – 1683  ...[भाग (i) से]

= 13167

अतः, अभीष्ट योग 13167 है।