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प्रश्न
किसी AP के प्रथम पाँच पदों के योग और उसी AP के प्रथम सात पदों के योग का योग 167 है। यदि इस AP के प्रथम दस पदों का योग 235 है, तो इसके प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए कि एक AP का पहला पद, सार्व अंतर और पदों की संख्या क्रमशः a, d और n हैं।
∵ AP के प्रथम n पदों का योग,
Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]` ...(i)
∴ किसी AP के पहले पाँच पदों का योग,
S5 = `5/2[2a + (5 - 1)d]` ...[समीकरण (i) से]
= `5/2(2a + 4d)`
= 5(a + 2d)
⇒ S5 = 5a + 10d ...(ii)
और किसी AP के पहले सात पदों का योग,
S7 = `7/2[2a + (7 - 1)d]`
= `7/2[2a + 6d]`
= 7(a + 3d)
⇒ S7 = 7a + 21d ...(iii)
अब, दी गई शर्त से,
S5 + S7 = 167
⇒ 5a + 10d + 7a + 21d = 167
⇒ 12a + 31d = 167 ...(iv)
दिया गया है कि, इस AP के पहले दस पदों का योग 235 है।
∴ S10 = 235
⇒ `10/2 [2a + (10 - 1)d]` = 235
⇒ 5(2a + 9d) = 235
⇒ 2a + 9d = 47 ...(v)
समीकरण (v) को 6 से गुणा करके समीकरण (iv) में घटाने पर, हमें प्राप्त होता है।
12a + 54d = 282
12a + 31d = 167
– – –
23d = 115
⇒ d = 5
अब, d का मान समीकरण (v) में रखें, हमें मिलता है।
2a + 9(5) = 47
⇒ 2a + 45 = 47
⇒ 2a = 47 – 45 = 2
⇒ a = 1
इस AP के पहले बीस पदों का योग,
S20 = `20/2[2a + (20 - 1)d]`
= 10[2 × (1) + 19 × (5)]
= 10(2 + 95)
= 10 × 97
= 970
अतः, इसके पहले बीस पदों का आवश्यक योग 970 है।
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