Advertisements
Advertisements
Question
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
Advertisements
Solution
माना, धनात्मक पूर्णांक = a और b = 3
यूक्लिड विभाजन प्रक्रिया से a = 3q + r, q ≥ 0 और 0 ≥ r < 3।
a = 3q या 3q + 1 या 3q + 2।
जब a = 3q,
a3 = 3q3 = 93q3 = 9m, जहाँ m एक पूर्णांक है और m = 3q3।
⇒ `a^3 = 3q + 1^3`
⇒ `a^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1`
⇒ `a^3 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1`
⇒ `a^3 = 9m + 1`
जहाँ m एक पूर्णांक है, m = `(3q^3 + 3q^2 + q)।`
जब a = 3q + 2, तब
⇒ `a^3 = 3q + 2^3`
⇒ `a^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8`
⇒ `a^3 = 9(3q^3 + 6q^4 + q) + 8`
⇒ `a^3 = 9m + 8`
जहाँ m एक पूर्णांक है, m = `(3q^3 + 6q^2 + 4q)।`
किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m या 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है।
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
196 और 38220
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य है। " क्या यह कथन सत्य है या असत्य? कारण दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n2 − 1, 8 से विभाज्य है।
सिद्ध कीजिए कि यदि x और y दोनों धनात्मक विषम पूर्णांक हैं, तो x2 + y2 एक सम संख्या है परंतु 4 से विभाज्य नहीं है।
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
