Question

दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन, किसी पूर्णांक m के लिए, 4m, 4m + 1 या 4m + 3 के रूप का होता है।

Answer 1

मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।

फिर, विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 4 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक q और r मौजूद होते हैं जैसे कि

a = 4q + r, जहां 0 ≤ r < 4

`\implies` a³ = (4q + r)³

= 64q³ + r³ + 12qr² + 48q²r .......[∵ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab² + 3a²b)

`\implies` a³ = (64q³ + 48q²r + 12qr²) + r³ .......(i)

जहाँ, 0 ≤ r < 4

केस I: जब r = 0,

फिर r = 0 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है

a³ = 64q³ = 4(16q³)

`\implies` a³ = 4m, जहां, m = 16q³ एक पूर्णांक है।

केस II: जब r = 1,

फिर r = 1 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है

a³ = 64q³ + 48q² + 12q + 1

= 4(16q³ + 12q² + 3q) + 1

= 4m + 1

जहाँ, m = (16q³ + 12q² + 3q) एक पूर्णांक है।

केस III: जब r = 2,

फिर r = 2 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है

a³ = 64q³ + 96q² + 48q + 8

= 4(16q³ + 24q² + 12q + 2)

= 4m

जहाँ, m = (16q³ + 24q² + 12q + 2) एक पूर्णांक है।

केस IV: जब आर = 3,

फिर r = 3 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है

a³ = 64q³ + 144q² + 108q + 27

= 64q³ + 144q² + 108q + 24 + 3

= 4(16q³ + 36q² + 27q + 6) + 3

= 4m + 3

जहाँ, m = (16q³ + 36q² + 27q + 6) एक पूर्णांक है।

इसलिए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक का घन कुछ पूर्णांक m के लिए फॉर्म 4m, 4m + 1 या 4m + 3 का है।