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Question
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
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Solution
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, सकारात्मक पूर्णांक a और 4 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक m और r मौजूद हैं, जैसे कि
a = 4m + r, जहां 0 ≤ r < 4
`\implies` a2 = 16m2 + r2 + 8mr
जहाँ, 0 ≤ r < 4 ......(i) [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
केस I: जब r = 0,
तो समीकरण (i) में r = 0 डालने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2
= 4(4m2)
= 4q
जहाँ, q = 4m2 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
तो समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 1 + 8m
= 4(4m2 + 2 इंच) + 1
= 4q + 1
जहाँ, q = (4m2 + 2m) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
तो समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 4 + 16m
= 4(4m2 + 4m + 1)
= 4q
जहाँ, q = (4m2 + 4m + 1) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब r = 3,
तो समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 9 + 24m
= 16m2 + 24m + 8 + 1
= 4(4m2 + 6m + 2) + 1
= 4q + 1
जहाँ, q = (4m2 + 6m + 2) एक पूर्णांक है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
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