Question

दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।

Answer 1

मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।

फिर यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, सकारात्मक पूर्णांक a और 4 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक m और r मौजूद हैं, जैसे कि

a = 4m + r, जहां 0 ≤ r < 4

`\implies` a² = 16m² + r² + 8mr

जहाँ, 0 ≤ r < 4 ......(i) [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]

केस I: जब r = 0,

तो समीकरण (i) में r = 0 डालने पर, हमें मिलता है

a² = 16m²

= 4(4m²)

= 4q

जहाँ, q = 4m² एक पूर्णांक है।

केस II: जब r = 1,

तो समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 16m² + 1 + 8m

= 4(4m² + 2 इंच) + 1

= 4q + 1

जहाँ, q = (4m² + 2m) एक पूर्णांक है।

केस III: जब r = 2,

तो समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 16m² + 4 + 16m

= 4(4m² + 4m + 1)

= 4q

जहाँ, q = (4m² + 4m + 1) एक पूर्णांक है।

केस IV: जब r = 3,

तो समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 16m² + 9 + 24m

= 16m² + 24m + 8 + 1

= 4(4m² + 6m + 2) + 1

= 4q + 1

जहाँ, q = (4m² + 6m + 2) एक पूर्णांक है।

इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।