Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, सकारात्मक पूर्णांक a और 4 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक m और r मौजूद हैं, जैसे कि
a = 4m + r, जहां 0 ≤ r < 4
`\implies` a2 = 16m2 + r2 + 8mr
जहाँ, 0 ≤ r < 4 ......(i) [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
केस I: जब r = 0,
तो समीकरण (i) में r = 0 डालने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2
= 4(4m2)
= 4q
जहाँ, q = 4m2 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
तो समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 1 + 8m
= 4(4m2 + 2 इंच) + 1
= 4q + 1
जहाँ, q = (4m2 + 2m) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
तो समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 4 + 16m
= 4(4m2 + 4m + 1)
= 4q
जहाँ, q = (4m2 + 4m + 1) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब r = 3,
तो समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 16m2 + 9 + 24m
= 16m2 + 24m + 8 + 1
= 4(4m2 + 6m + 2) + 1
= 4q + 1
जहाँ, q = (4m2 + 6m + 2) एक पूर्णांक है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
867 और 255
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]
"तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य है।" क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दोनों ही संख्याएँ 525 और 3000 केवल 3, 5, 15, 25 और 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन, किसी पूर्णांक m के लिए, 4m, 4m + 1 या 4m + 3 के रूप का होता है।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1, 2 और 3 प्राप्त हो।
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
