Question

सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या n³ − n, 6 से विभाज्य है।

Answer 1

मान लीजिए a = n³ – n

`\implies` a = n – (n² – 1)

`\implies` a = n – (n – 1)(n + 1) ......[∵ (a² – b²) = (a – b)(a + b)]

`\implies` a = (n – 1) n (n + 1)

हम जानते हैं कि, यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो वह 6 से भी विभाज्य है।

n – 1, n और n + 1 तीन लगातार पूर्णांक हैं।

अब, a = (n – 1 ) n (n + 1) तीन लगातार पूर्णांकों का गुणनफल है।

तो, इनमें से एक को 2 से विभाज्य होना चाहिए और दूसरे को 3 से विभाज्य होना चाहिए।

इसलिए, a, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है।

इस प्रकार, a = n³ – n, 6 से विभाज्य है।