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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या n3 − n, 6 से विभाज्य है।
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उत्तर
मान लीजिए a = n3 – n
`\implies` a = n – (n2 – 1)
`\implies` a = n – (n – 1)(n + 1) ......[∵ (a2 – b2) = (a – b)(a + b)]
`\implies` a = (n – 1) n (n + 1)
हम जानते हैं कि, यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो वह 6 से भी विभाज्य है।
n – 1, n और n + 1 तीन लगातार पूर्णांक हैं।
अब, a = (n – 1 ) n (n + 1) तीन लगातार पूर्णांकों का गुणनफल है।
तो, इनमें से एक को 2 से विभाज्य होना चाहिए और दूसरे को 3 से विभाज्य होना चाहिए।
इसलिए, a, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है।
इस प्रकार, a = n3 – n, 6 से विभाज्य है।
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