Question

दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।

Answer 1

मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।

फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 5 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक m और r मौजूद होते हैं जैसे कि

a = 5m + r, जहां 0 ≤ r < 5

`\implies` a² = (5m + r)² = 25m² + r² + 10mr ......[∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]

`\implies` a² = 5(5m² + 2mr) + r², जहां, 0 < r < 5 …(i)

केस I: जब r = 0,

फिर समीकरण (i) में r = 0 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 5(5m²) = 5q

जहाँ, q = 5m² एक पूर्णांक है।

केस II: जब r = 1,

फिर समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 5(5m² + 2m) + 1

`\implies` a² = 5q + 1

जहाँ, q = (5m² + 2m) एक पूर्णांक है।

केस III: जब r = 2,

फिर समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 5(5m² + 4m) + 4

= 5q + 4

जहाँ, q = (5m² + 4m) एक पूर्णांक है।

केस IV: जब r = 3,

फिर समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 5(5m² + 6m) + 9

= 5(5m² + 6m) + 5 + 4

= 5(5m² + 6m + 1) + 4

= 5q + 4

जहाँ, q = (5m² + 6m + 1) एक पूर्णांक है।

केस V: जब r = 4,

फिर समीकरण (i) में r = 4 रखने पर, हमें मिलता है

a² = 5(5m² + 8m) + 16

= 5(5m² + 8m) + 15 + 1

`\implies` a² = 5(5m² + 8m + 3) + 1

= 5q + 1

जहाँ, q = (5m² + 8m + 3) एक पूर्णांक है।

इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।