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प्रश्न
एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
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उत्तर
यूक्लिड लेमा के अनुसार, b = aq + r, 0 ≤ r < a
3m + 2 के साथ aq + r कि तुलना करे तो, a = 3 और 0 ≤ r < 3
इसका मतलब की r = 0, 1 और 2 है।
इसलिए 3q + r जहाँ 0 ≤ r < 3 है।
r = 0 के लिए,
3q + 0 = 3q
r = 1 के लिए,
(3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1
= 3(3q2 + 2q) + 1
= 3m + 1
जहाँ, m = 3q2 + 2q
r = 2 के लिए,
(3q + 2)2 = 9q2 + 12q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3(3q2 + 4q + 1) + 1
= 3m + 1
जहाँ, m = 3q2 + 4q + 1
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