Question

एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

Answer 1

यूक्लिड लेमा के अनुसार, b = aq + r, 0 ≤ r < a

3m + 2 के साथ aq + r कि तुलना करे तो, a = 3 और 0 ≤ r < 3

इसका मतलब की r = 0, 1 और 2 है।

इसलिए 3q + r जहाँ 0 ≤ r < 3 है।

r = 0 के लिए,

3q + 0 = 3q

(3q)² = 9q² जोकि 3m का रूप है जहाँ m = 3q²

r = 1 के लिए,

​(3q + 1)² = 9q² + 6q + 1

= 3(3q² + 2q) + 1

= 3m + 1​

जहाँ, m = 3q² + 2q

r = 2 के लिए,

(3q + 2)² = 9q² + 12q + 4

= 9q² + 12q + 3 + 1

= 3(3q² + 4q + 1) + 1

= 3m + 1​

जहाँ, m = 3q² + 4q + 1